Problema resuelto de Física: Satélites, órbitas y leyes de KeplerSelectividad (PAU) · País Vasco 2018 · Julio · Opción A

Contexto. Johannes Kepler enunció a principios del siglo XVII tres leyes empíricas sobre el movimiento de los planetas, a partir de las observaciones de Tycho Brahe. Newton demostró después que se deducen de su ley de gravitación.

Primera ley (de las órbitas). Los planetas describen órbitas elípticas alrededor del Sol, que ocupa uno de los focos de la elipse. Las órbitas son planas y cerradas; la distancia al Sol varía entre el perihelio (mínima) y el afelio (máxima).

Segunda ley (de las áreas). El radio vector que une el Sol con el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales: la velocidad areolar $dA/dt$ es constante. En consecuencia, el planeta va más deprisa cerca del Sol (perihelio) y más despacio lejos (afelio). Es una consecuencia de que la fuerza gravitatoria es central: el momento angular $\vec L = \vec r\times m\vec v$ se conserva y $dA/dt = L/(2m)$.

Tercera ley (de los periodos). Los cuadrados de los periodos de revolución son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de las órbitas:$$T^2 = C\,a^3$$con la misma constante $C$ para todos los planetas que giran alrededor del Sol (para los satélites de otro astro, la constante es otra).

Deducción para una órbita circular. Un planeta de masa $m$ gira en una órbita circular de radio $r$ alrededor de una estrella de masa $M$. La única fuerza es la gravitatoria, que apunta al centro y es la fuerza centrípeta del movimiento circular uniforme:$$G\,\frac{M\,m}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad v^2 = \frac{G\,M}{r}$$En una vuelta recorre la circunferencia en un periodo $T$, así que $v = \dfrac{2\pi r}{T}$. Sustituyendo:$$\frac{4\pi^2 r^2}{T^2} = \frac{G\,M}{r}\quad\Longrightarrow\quad T^2 = \frac{4\pi^2}{G\,M}\,r^3$$Es la tercera ley de Kepler (en una circunferencia, el semieje mayor es el radio). La constante $C = 4\pi^2/(GM)$ solo depende de la masa del astro central, no de la del planeta: por eso es la misma para todos los planetas del Sistema Solar.

Ejemplo. La Tierra tarda 1 año en una órbita de radio $1{,}5\cdot10^{11}\,\text{m}$; Marte, a $1{,}52$ veces esa distancia, tarda $T = 1{,}52^{3/2} \approx 1{,}88$ años, como se observa.