Radiactividad y desintegración

a) Número de núcleos de la muestra:$$N = \frac{m}{M_\text{mol}}\,N_A = \frac{30}{87}\cdot 6{,}02\cdot 10^{23} = 2{,}08\cdot 10^{23}\ \text{núcleos}$$Constante de desintegración:$$\lambda = \frac{A}{N} = \frac{2{,}85\cdot 10^{12}}{2{,}076\cdot 10^{23}} = 1{,}37\cdot 10^{-11}\ \text{s}^{-1}$$Periodo de semidesintegración:$$T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \frac{0{,}693}{1{,}373\cdot 10^{-11}} = 5{,}05\cdot 10^{10}\ \text{s}$$En años (de $365$ días, $3{,}15\cdot 10^{7}\,\text{s}$):$$T_{1/2} = \frac{5{,}05\cdot 10^{10}}{3{,}15\cdot 10^{7}} \approx 1{,}60\cdot 10^{3}\ \text{años}$$b) $6000$ años son $t = 6000\cdot 3{,}15\cdot 10^{7} = 1{,}89\cdot 10^{11}\,\text{s}$, es decir, $t/T_{1/2} = 6000/1601 = 3{,}75$ periodos. La masa del elemento radiactivo que queda:$$m(t) = m_0\,e^{-\lambda t} = 30\cdot e^{-1{,}373\cdot 10^{-11}\cdot 1{,}89\cdot 10^{11}} = 30\cdot e^{-2{,}60} = 2{,}23\ \text{g}$$O, con los periodos, $m = 30\cdot 2^{-3{,}75} = 2{,}23\,\text{g}$: algo menos de la octava parte, porque han pasado algo más de tres periodos.

Esa es la masa del elemento radiactivo que queda sin desintegrar. Los núcleos que se han desintegrado no desaparecen: se transforman en otros (los productos), que siguen en la muestra.