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Campo magnético creado por corrientes

También trata: Movimiento de cargas: fuerza de Lorentz

Comunidad de Madrid · 2018 · Junio (coincidentes) · Opción B

Enunciado

Por un hilo conductor rectilíneo situado a lo largo del eje

x

y que pasa por el punto

(0,\,0,\,0)

, circula una corriente eléctrica de intensidad

I = 10\,\text{A}

en el sentido negativo del eje

x

(coordenadas expresadas en metros).

Ejes x, y, z en perspectiva con origen en (0,0,0). El hilo coincide con el eje x, que apunta hacia el observador (abajo a la izquierda); una flecha marcada I sobre el hilo, detrás del origen, señala que la corriente va en el sentido negativo de x. Sobre el eje y hay un punto negro en (0,5,0)

a) Calcule el vector campo magnético debido al hilo en el punto

P\,(0,\,5,\,0)

.

b) Si una carga

Q = 3\,\text{mC}

pasa por el punto

P\,(0,\,5,\,0)

con una velocidad

\vec v = 4\,\vec i + 4\,\vec j\ \ \text{m}\,\text{s}^{-1}

, ¿cuál es el vector fuerza magnética que actúa sobre la carga?

Dato: Permeabilidad magnética del vacío,

\mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\ \text{N}\,\text{A}^{-2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec B(P) = -4\cdot 10^{-7}\,\vec k\ \ \text{T}\qquad \vec F = -4{,}8\cdot 10^{-9}\,\vec i + 4{,}8\cdot 10^{-9}\,\vec j\ \ \text{N}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) el módulo del campo de un hilo rectilíneo indefinido es

B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}

, con

r

la distancia del punto al hilo. Su dirección la da la regla de la mano derecha: las líneas de campo son circunferencias alrededor del hilo, y en cada punto

\vec B

tiene el sentido de

\vec u_I\times\vec u_r

, donde

\vec u_I

es el sentido de la corriente y

\vec u_r

el vector unitario que va del hilo al punto.

En b) se aplica la fuerza de Lorentz sin campo eléctrico,

\vec F = Q\,(\vec v\times\vec B)

, con el campo calculado en a).

Desarrollo

a) El punto

P\,(0,\,5,\,0)

está a

r = 5\,\text{m}

del eje

x

. El módulo del campo:

B = \frac{\mu_0\,I}{2\pi r} = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 10}{2\pi\cdot 5} = 4\cdot 10^{-7}\ \text{T}

Dirección: la corriente va según

\vec u_I = -\vec i

y el vector del hilo al punto es

\vec u_r = \vec j

\vec u_I\times\vec u_r = (-\vec i)\times\vec j = -\vec k

\vec B(P) = -4\cdot 10^{-7}\,\vec k\ \ \text{T}

Con la mano derecha: pulgar hacia

-x

, los dedos rodean el hilo y, en el lado de las

y

positivas, apuntan hacia abajo (

-z

).

b) Fuerza de Lorentz con

Q = 3\cdot 10^{-3}\,\text{C}

\vec v\times\vec B = \begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 4 & 4 & 0\\ 0 & 0 & -4\cdot 10^{-7}\end{vmatrix} = \left(4\cdot(-4\cdot 10^{-7}) - 0\right)\vec i - \left(4\cdot(-4\cdot 10^{-7}) - 0\right)\vec j + 0\,\vec k

\vec v\times\vec B = -1{,}6\cdot 10^{-6}\,\vec i + 1{,}6\cdot 10^{-6}\,\vec j\ \ \text{T}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}

\vec F = Q\,(\vec v\times\vec B) = 3\cdot 10^{-3}\left(-1{,}6\cdot 10^{-6}\,\vec i + 1{,}6\cdot 10^{-6}\,\vec j\right) = -4{,}8\cdot 10^{-9}\,\vec i + 4{,}8\cdot 10^{-9}\,\vec j\ \ \text{N}

Su módulo es

F = 4{,}8\cdot 10^{-9}\sqrt{2} = 6{,}79\cdot 10^{-9}\,\text{N}

. Como debe ser, es perpendicular a la velocidad (

\vec F\cdot\vec v = -4{,}8\cdot 4 + 4{,}8\cdot 4 = 0

, en unidades de

10^{-9}

) y al campo (no tiene componente

z

Consejo

Para el sentido del campo de un hilo, el producto $\vec u_I\times\vec u_r$ (corriente por el vector que va del hilo al punto) evita errores con la mano derecha cuando la corriente va en un sentido negativo.

Comprueba siempre que la fuerza magnética es perpendicular a $\vec v$ y a $\vec B$ : si el producto escalar no sale cero, hay un signo mal en el determinante.