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Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Comunidad de Madrid · 2018 · Junio (coincidentes) · Opción B

Enunciado

Dos altavoces A y B emiten ondas sonoras con potencias

P_A

P_B = 3P_A

, respectivamente. En un punto Q situado a una distancia

d = 5\,\text{m}

, equidistante de ambos altavoces, el nivel de intensidad sonora es de

90\,\text{dB}

. Determine:

a) La intensidad sonora en Q.

b) La potencia del altavoz A.

Dato: Intensidad umbral,

I_0 = 10^{-12}\ \text{W}\,\text{m}^{-2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;I_Q = 10^{-3}\ \text{W}\,\text{m}^{-2}\qquad P_A = \pi d^2 I = 7{,}85\cdot 10^{-2}\ \text{W}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) se deshace la definición del nivel de intensidad sonora,

\beta = 10\log\dfrac{I}{I_0}

: el nivel de

90\,\text{dB}

es el del sonido de los dos altavoces juntos.

En b) se tratan los altavoces como focos puntuales que reparten su potencia sobre una esfera,

I = \dfrac{P}{4\pi r^2}

. Los dos sonidos no están en fase de forma estable (focos incoherentes), así que en Q se suman las intensidades, no los niveles en decibelios. Como Q está a la misma distancia de los dos, la intensidad total depende de la suma de potencias,

P_A + 3P_A = 4P_A

Desarrollo

a) Despejamos la intensidad del nivel sonoro:

90 = 10\log\frac{I}{10^{-12}}\quad\Longrightarrow\quad \frac{I}{10^{-12}} = 10^{9}\quad\Longrightarrow\quad I = 10^{-3}\ \text{W}\,\text{m}^{-2}

b) En Q, a

d = 5\,\text{m}

de cada altavoz:

I = I_A + I_B = \frac{P_A}{4\pi d^2} + \frac{3P_A}{4\pi d^2} = \frac{4P_A}{4\pi d^2} = \frac{P_A}{\pi d^2}

P_A = \pi\,d^2\,I = \pi\cdot 5^2\cdot 10^{-3} = 7{,}85\cdot 10^{-2}\ \text{W}

El altavoz B emite el triple,

P_B = 0{,}236\,\text{W}

. Por separado, A daría en Q una intensidad de

2{,}5\cdot 10^{-4}\,\text{W}\,\text{m}^{-2}

(

84\,\text{dB}

) y B, de

7{,}5\cdot 10^{-4}\,\text{W}\,\text{m}^{-2}

(

88{,}8\,\text{dB}

): juntos no suman

172\,\text{dB}

, sino

90\,\text{dB}

Consejo

Los decibelios no se suman: se suman las intensidades y, si hace falta, se vuelve a pasar a decibelios. Duplicar la intensidad solo añade unos $3\,\text{dB}$ .

La intensidad de un foco puntual decae como $1/r^2$ porque su potencia se reparte en la superficie de una esfera, $4\pi r^2$ : escribe esa superficie con el $4\pi$ .