FísicaFácil2 pts

Campo y potencial gravitatorio

Comunidad de Madrid · 2018 · Junio (coincidentes) · Opción B

Enunciado

Una masa de valor

M = 4\,\text{kg}

se encuentra en el punto

(4,\,0)

del plano

xy

(coordenadas expresadas en metros). Determine:

a) El vector campo gravitatorio creado por la masa en el punto

P\,(0,\,3)

.

b) El trabajo necesario para llevar una masa

m = 10\,\text{kg}

desde el origen de coordenadas al punto

P

.

Dato: Constante de Gravitación Universal,

G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec g(P) = 8{,}54\cdot 10^{-12}\,\vec i - 6{,}40\cdot 10^{-12}\,\vec j\ \ \text{N}\,\text{kg}^{-1}\qquad |\vec g| = 1{,}07\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{kg}^{-1}\;}

\boxed{\;W_\text{ext} = m\,(V_P - V_O) = 1{,}33\cdot 10^{-10}\ \text{J}\qquad (W_\text{campo} = -1{,}33\cdot 10^{-10}\ \text{J})\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) el módulo del campo es

GM/r^2

y su dirección, la de la recta que une

P

con la masa: el campo gravitatorio siempre apunta hacia la masa que lo crea. Basta escribir el vector unitario de

P

hacia

M

.

En b) el campo gravitatorio es conservativo: el trabajo solo depende de los puntos inicial y final, a través del potencial. El trabajo «necesario» es el que hace un agente externo para llevar la masa sin acelerarla,

W_\text{ext} = m\,(V_P - V_O)

, igual y de signo contrario al que hace el campo.

Desarrollo

a) Del punto

P\,(0,\,3)

a la masa

M\,(4,\,0)

va el vector

(4,\,-3)\,\text{m}

, de módulo

r = 5\,\text{m}

. El campo apunta en ese sentido, con vector unitario

\vec u = \left(\frac{4}{5},\,-\frac{3}{5}\right)

. Su módulo:

g = G\,\frac{M}{r^2} = 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot\frac{4}{5^2} = 1{,}07\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{kg}^{-1}

\vec g(P) = 1{,}07\cdot 10^{-11}\left(0{,}8\,\vec i - 0{,}6\,\vec j\right) = 8{,}54\cdot 10^{-12}\,\vec i - 6{,}40\cdot 10^{-12}\,\vec j\ \ \text{N}\,\text{kg}^{-1}

b) Distancias a la masa

M

: el origen está a

r_O = 4\,\text{m}

P

, a

r_P = 5\,\text{m}

. Los potenciales:

V_O = -G\,\frac{M}{r_O} = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 4}{4} = -6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}

V_P = -G\,\frac{M}{r_P} = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 4}{5} = -5{,}34\cdot 10^{-11}\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}

El trabajo que hay que hacer desde fuera es el aumento de energía potencial de

m

W_\text{ext} = m\,(V_P - V_O) = 10\cdot\left(-5{,}336\cdot 10^{-11} + 6{,}67\cdot 10^{-11}\right) = 1{,}33\cdot 10^{-10}\ \text{J}

Es positivo: la masa se aleja de

M

y hay que tirar de ella contra la atracción. El campo, en cambio, hace un trabajo

W_\text{campo} = -W_\text{ext} = -1{,}33\cdot 10^{-10}\ \text{J}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El vector unitario del campo gravitatorio va del punto hacia la masa: resta las coordenadas en ese orden ( $M - P$ ) y no tendrás que corregir el signo después.

«Trabajo necesario» es el de la fuerza externa. Di siempre quién hace el trabajo: el del campo y el externo tienen el mismo valor y signos opuestos.