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Óptica geométrica: lentes y espejos

Comunidad de Madrid · 2018 · Junio (coincidentes) · Opción A

Enunciado

Un sistema óptico está formado por dos lentes convergentes de distancias focales

f_1' = 20\,\text{cm}

f_2' = 30\,\text{cm}

. La segunda lente, de distancia focal

f_2'

, está situada a la derecha de la primera a

100\,\text{cm}

de distancia. Un objeto de

3\,\text{cm}

de altura se coloca

30\,\text{cm}

delante de la primera lente.

a) Determine la posición y la altura de la imagen del objeto formada por el sistema óptico.

b) Realice el diagrama de rayos correspondiente.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Lente 1:}\quad s_1' = +60\,\text{cm}\qquad y_1' = -6\,\text{cm}\ \ (\text{real, invertida})\;}

\boxed{\;\text{Imagen final:}\quad s_2' = +120\,\text{cm}\ \ (220\,\text{cm a la derecha de la primera lente})\qquad y' = 18\,\text{cm}\ \ (\text{real, derecha})\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Un sistema de dos lentes se resuelve por etapas: la primera lente forma una imagen del objeto, y esa imagen hace de objeto para la segunda. La clave es cambiar el origen de distancias al pasar de una lente a la otra.

El objeto está entre

f_1'

2f_1'

de la primera lente, así que su imagen será real, invertida y mayor, al otro lado. Si esa imagen queda delante de la segunda lente (a su izquierda), es un objeto real para ella.

Usamos el convenio de signos habitual: luz de izquierda a derecha, distancias medidas desde cada lente, positivas a la derecha; ecuación de las lentes delgadas

\dfrac{1}{s'} - \dfrac{1}{s} = \dfrac{1}{f'}

y aumento lateral

\dfrac{y'}{y} = \dfrac{s'}{s}

Desarrollo

a) Primera lente. El objeto está a la izquierda:

s_1 = -30\,\text{cm}

y = 3\,\text{cm}

\frac{1}{s_1'} = \frac{1}{f_1'} + \frac{1}{s_1} = \frac{1}{20} - \frac{1}{30} = \frac{1}{60}\quad\Longrightarrow\quad s_1' = 60\,\text{cm}

\frac{y_1'}{y} = \frac{s_1'}{s_1} = \frac{60}{-30} = -2\quad\Longrightarrow\quad y_1' = -6\,\text{cm}

La imagen intermedia está

60\,\text{cm}

a la derecha de la primera lente: real, invertida y del doble de tamaño.

Segunda lente. Esa imagen queda

100 - 60 = 40\,\text{cm}

a la izquierda de la segunda lente: para ella es un objeto real con

s_2 = -40\,\text{cm}

y altura

y_1' = -6\,\text{cm}

\frac{1}{s_2'} = \frac{1}{f_2'} + \frac{1}{s_2} = \frac{1}{30} - \frac{1}{40} = \frac{1}{120}\quad\Longrightarrow\quad s_2' = 120\,\text{cm}

\frac{y'}{y_1'} = \frac{s_2'}{s_2} = \frac{120}{-40} = -3\quad\Longrightarrow\quad y' = (-3)\cdot(-6) = 18\,\text{cm}

La imagen final está

120\,\text{cm}

a la derecha de la segunda lente (

220\,\text{cm}

a la derecha de la primera). El aumento total es el producto de los dos:

M = (-2)\cdot(-3) = 6

La imagen final es real (se puede recoger en una pantalla), derecha respecto del objeto original (cada lente la invierte una vez) y seis veces mayor:

18\,\text{cm}

.

Puedes ver cada etapa en la simulación. Primero, la primera lente con el objeto:

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Y después la segunda, con la imagen intermedia como objeto (la simulación lo dibuja derecho, de

6\,\text{cm}

; en el sistema real está invertido, así que todo el dibujo queda dado la vuelta):

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) El diagrama se hace también en dos etapas, con los rayos principales de cada lente:

Lente 1, desde el extremo superior del objeto ( $30\,\text{cm}$ a su izquierda, $3\,\text{cm}$ por encima del eje): el rayo paralelo al eje sale por el foco imagen $F_1'$ ( $20\,\text{cm}$ a la derecha); el que pasa por el centro óptico no se desvía; el que pasa por el foco objeto $F_1$ ( $20\,\text{cm}$ a la izquierda) sale paralelo al eje. Los tres se cortan $60\,\text{cm}$ a la derecha de la lente y $6\,\text{cm}$ por debajo del eje: la imagen intermedia, real e invertida.
Lente 2, desde el extremo de la imagen intermedia ( $40\,\text{cm}$ a su izquierda, $6\,\text{cm}$ por debajo del eje): el rayo paralelo al eje sale por $F_2'$ ( $30\,\text{cm}$ a la derecha de la lente) y cruza el eje; el que pasa por el centro óptico no se desvía; el que pasa por $F_2$ ( $30\,\text{cm}$ a la izquierda) sube, llega a la lente $18\,\text{cm}$ por encima del eje y sale paralelo a él. Los tres se cortan $120\,\text{cm}$ a la derecha de la segunda lente y $18\,\text{cm}$ por encima del eje. Ahí está la imagen final, real y derecha.

Consejo

Al pasar a la segunda lente, cambia el origen: la imagen de la primera está a $60\,\text{cm}$ de la lente 1, pero a $-40\,\text{cm}$ de la lente 2.

El aumento del sistema es el producto de los aumentos. Dos imágenes invertidas seguidas dan una derecha: el signo de $M$ te lo dice sin dibujar.