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Campo y potencial eléctrico

Comunidad de Madrid · 2018 · Junio (coincidentes) · Opción A

Enunciado

Dos cargas

Q_1 = -4\,\text{nC}

Q_2 = 4\,\text{nC}

están situadas en los puntos

P_1\,(3,\,4)

P_2\,(-3,\,4)

, respectivamente, del plano

xy

(coordenadas expresadas en metros). Determine:

a) El vector campo eléctrico en el origen de coordenadas.

b) El potencial electrostático en el origen de coordenadas.

Dato: Constante de la Ley de Coulomb,

K = 1/(4\pi\varepsilon_0) = 9\cdot 10^{9}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{C}^{-2}

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Resultado

\boxed{\;\vec E(0,0) = 1{,}73\,\vec i\ \ \text{N}\,\text{C}^{-1}\qquad V(0,0) = 0\ \text{V}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Por el principio de superposición, el campo en el origen es la suma vectorial de los campos de cada carga, y el potencial, la suma algebraica (con signo) de los potenciales.

Las dos cargas están a la misma distancia del origen,

r = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\,\text{m}

, y tienen el mismo valor absoluto, así que sus campos tienen el mismo módulo. Solo cambia la dirección: el campo de una carga positiva sale de ella y el de una negativa apunta hacia ella. Un esquema basta para ver que las componentes

y

se cancelan y las

x

se suman.

Desarrollo

a) Módulo del campo de cada carga en el origen:

E_1 = E_2 = K\,\frac{|Q|}{r^2} = 9\cdot 10^{9}\cdot\frac{4\cdot 10^{-9}}{5^2} = 1{,}44\ \text{N}\,\text{C}^{-1}

$Q_1$ es negativa: su campo en el origen apunta hacia ella, de $O$ hacia $P_1\,(3,\,4)$ , es decir, según el vector unitario $\left(\frac{3}{5},\,\frac{4}{5}\right)$ :

\vec E_1 = 1{,}44\left(0{,}6\,\vec i + 0{,}8\,\vec j\right) = 0{,}864\,\vec i + 1{,}152\,\vec j\ \ \text{N}\,\text{C}^{-1}

$Q_2$ es positiva: su campo en el origen se aleja de ella, de $P_2\,(-3,\,4)$ hacia $O$ , según $\left(\frac{3}{5},\,-\frac{4}{5}\right)$ :

\vec E_2 = 1{,}44\left(0{,}6\,\vec i - 0{,}8\,\vec j\right) = 0{,}864\,\vec i - 1{,}152\,\vec j\ \ \text{N}\,\text{C}^{-1}

Sumando:

\vec E = \vec E_1 + \vec E_2 = 1{,}728\,\vec i\ \ \text{N}\,\text{C}^{-1}\approx 1{,}73\,\vec i\ \ \text{N}\,\text{C}^{-1}

Las componentes verticales se anulan y el campo resultante apunta hacia

+x

: de la carga positiva hacia la negativa, como en todo dipolo.

b) El potencial es un escalar y cada carga contribuye con su signo:

V = K\,\frac{Q_1}{r} + K\,\frac{Q_2}{r} = \frac{9\cdot 10^{9}}{5}\left(-4\cdot 10^{-9} + 4\cdot 10^{-9}\right) = 0\ \text{V}

El origen está en la mediatriz del segmento que une dos cargas opuestas, a la misma distancia de las dos: ahí el potencial es nulo aunque el campo no lo sea.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Antes de calcular, dibuja las cargas y el sentido de cada campo en el punto: así ves qué componentes se suman y cuáles se cancelan, y compruebas el signo del resultado.

Campo nulo y potencial nulo no van juntos: aquí el potencial vale cero y el campo no. El campo se suma como vectores; el potencial, como números con signo.

Paso 1 de 3

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