FísicaMedioProblema · 2 pts

Óptica geométrica: lentes y espejos

Comunidad de Madrid · 2018 · Junio · Opción A

Enunciado

Un sistema óptico está constituido por dos lentes situadas a

50\,\text{cm}

de distancia. La primera es de

10

dioptrías y la segunda de

-10

dioptrías. Se sitúa un objeto de altura

10\,\text{cm}

a una distancia de

15\,\text{cm}

, a la izquierda de la primera lente.

a) Determine la posición y el tamaño de la imagen producida por la primera lente y de la imagen final formada por el sistema.

b) Realice un diagrama de rayos de la formación de la imagen final.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Lente 1:}\quad s_1' = +30\,\text{cm}\ \ (\text{a la derecha de la primera lente})\qquad y_1' = -20\,\text{cm}\ \ (\text{real, invertida})\;}

\boxed{\;\text{Imagen final:}\quad s_2' = -6{,}67\,\text{cm}\ \ (43{,}3\,\text{cm a la derecha de la primera lente})\qquad y' = -6{,}67\,\text{cm}\ \ (\text{virtual, invertida})\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Un sistema de dos lentes se resuelve por etapas: la primera lente forma una imagen del objeto, y esa imagen hace de objeto para la segunda. La clave es cambiar el origen de distancias al pasar de una lente a la otra.

La primera lente es convergente (

P = +10\,\text{D}

f' = 10\,\text{cm}

) y el objeto está más allá de su foco, así que dará una imagen real e invertida al otro lado. La segunda es divergente (

f' = -10\,\text{cm}

): de un objeto real siempre da una imagen virtual, derecha respecto a ese objeto y más pequeña.

Usamos el convenio de signos habitual: luz de izquierda a derecha, distancias medidas desde cada lente, positivas a la derecha; ecuación de las lentes delgadas

\dfrac{1}{s'} - \dfrac{1}{s} = \dfrac{1}{f'}

y aumento lateral

\dfrac{y'}{y} = \dfrac{s'}{s}

Desarrollo

a) Distancias focales imagen a partir de las potencias:

f_1' = \frac{1}{P_1} = \frac{1}{10} = 0{,}1\,\text{m} = 10\,\text{cm}\qquad\qquad f_2' = \frac{1}{P_2} = \frac{1}{-10} = -0{,}1\,\text{m} = -10\,\text{cm}

Primera lente. El objeto está a la izquierda:

s_1 = -15\,\text{cm}

y = 10\,\text{cm}

\frac{1}{s_1'} = \frac{1}{f_1'} + \frac{1}{s_1} = \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{1}{30}\quad\Longrightarrow\quad s_1' = 30\,\text{cm}

\frac{y_1'}{y} = \frac{s_1'}{s_1} = \frac{30}{-15} = -2\quad\Longrightarrow\quad y_1' = -20\,\text{cm}

La primera imagen está

30\,\text{cm}

a la derecha de la primera lente: es real, invertida y del doble de tamaño.

Segunda lente. Esa imagen queda

50 - 30 = 20\,\text{cm}

a la izquierda de la segunda lente, así que para ella es un objeto real con

s_2 = -20\,\text{cm}

y altura

y_1' = -20\,\text{cm}

\frac{1}{s_2'} = \frac{1}{f_2'} + \frac{1}{s_2} = -\frac{1}{10} - \frac{1}{20} = -\frac{3}{20}\quad\Longrightarrow\quad s_2' = -\frac{20}{3} = -6{,}67\,\text{cm}

\frac{y'}{y_1'} = \frac{s_2'}{s_2} = \frac{-20/3}{-20} = \frac{1}{3}\quad\Longrightarrow\quad y' = \frac{-20}{3} = -6{,}67\,\text{cm}

La imagen final está

6{,}67\,\text{cm}

a la izquierda de la segunda lente, es decir, a

50 - 6{,}67 = 43{,}3\,\text{cm}

a la derecha de la primera. El aumento total del sistema es el producto de los dos:

M = (-2)\cdot\frac{1}{3} = -\frac{2}{3}

La imagen final es virtual (se forma con prolongaciones de rayos, delante de la lente divergente), invertida respecto del objeto original y de

2/3

de su tamaño.

Puedes ver cada etapa por separado en la simulación. Primero, la lente convergente con el objeto:

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Y después la divergente, con la primera imagen como objeto (la simulación dibuja el objeto derecho, de

20\,\text{cm}

; en el sistema real está invertido, así que todo el dibujo queda dado la vuelta):

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) El diagrama se hace también en dos etapas, con los rayos principales de cada lente:

Lente 1 (convergente), desde el extremo del objeto: el rayo paralelo al eje sale por el foco imagen $F_1'$ ; el que pasa por el centro óptico no se desvía; el que pasa por el foco objeto $F_1$ sale paralelo al eje. Los tres se cortan en el extremo de la imagen intermedia, $30\,\text{cm}$ a la derecha de la lente y $20\,\text{cm}$ por debajo del eje.
Lente 2 (divergente), desde el extremo de la imagen intermedia: el rayo paralelo al eje sale como si viniera del foco imagen $F_2'$ , que en una lente divergente está a la izquierda ( $10\,\text{cm}$ ); el que pasa por el centro no se desvía; el que va dirigido hacia el foco objeto $F_2$ (a la derecha) sale paralelo al eje. Los rayos que salen divergen: se cortan sus prolongaciones hacia atrás, $6{,}67\,\text{cm}$ a la izquierda de la lente y $6{,}67\,\text{cm}$ por debajo del eje. Ahí está la imagen final, virtual.

Diagrama de rayos del sistema. Lente convergente de +10 D en el origen, con sus focos F1 a 10 cm a la izquierda y F′1 a 10 cm a la derecha; lente divergente de −10 D 50 cm más a la derecha, con F′2 10 cm a su izquierda y F2 10 cm a su derecha. El objeto, de 10 cm, está a 15 cm a la izquierda de la primera lente. Sus tres rayos (paralelo que sale por F′1, central sin desviar y el que pasa por F1 y sale paralelo) se cortan 30 cm a la derecha de la primera lente, 20 cm por debajo del eje: imagen intermedia real e invertida. Desde ella salen tres rayos hacia la segunda lente: el paralelo sale alejándose del eje como si viniera de F′2, el central no se desvía y el dirigido a F2 sale paralelo. Sus prolongaciones (discontinuas) se cortan 6,67 cm a la izquierda de la lente divergente y 6,67 cm por debajo del eje: imagen final virtual, invertida respecto al objeto y de 2/3 de su tamaño

Consejo

Al pasar a la segunda lente, cambia el origen: la imagen de la primera está a $30\,\text{cm}$ de la lente 1, pero a $-20\,\text{cm}$ de la lente 2. Equivocarse en ese paso estropea todo lo que viene detrás.

En una lente divergente el foco imagen $F'$ está a la izquierda: el rayo paralelo sale como si viniera de él. Dibuja con trazo discontinuo las prolongaciones que forman una imagen virtual.