Sea un campo magnético uniforme B=−B0k, con B0=0,3T. En el plano xy, hay una espira rectangular cuyos lados miden, inicialmente, a=1m y b=0,5m. La varilla de longitud b se puede desplazar en la dirección del eje x, tal y como se ilustra en la figura. Determine, para t=2s, el flujo a través de la espira y la fuerza electromotriz inducida en la misma si,Espira rectangular en el plano xy: un conductor en forma de U, cerrado por el lado izquierdo (sobre el eje y), de anchura a en la dirección x y altura b en la dirección y, cerrado por la derecha por una varilla vertical móvil de longitud b que se desplaza hacia la derecha con velocidad v en el sentido del eje x. El campo B entra en el papel (aspas) en toda la regióna) La varilla se desplaza con velocidad constante de 3ms−1.
b) Partiendo del reposo la varilla se desplaza con aceleración constante de 2ms−2.
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Resultado
a)Φ(2s)=−1,05Wbε=0,45V(constante, antihoraria vista desde +z)b)Φ(2s)=−0,75Wbε(2s)=0,6V(antihoraria vista desde +z)(En módulo, ∣Φ∣=1,05Wb y 0,75Wb; el signo negativo solo dice que B apunta en sentido contrario al vector superficie elegido.)
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia
El campo no cambia, pero la espira crece: la varilla se aleja del lado fijo y el área encerrada aumenta. Con ello aumenta el flujo, y por la ley de Faraday aparece una fuerza electromotriz.
El plan es escribir el lado variable de la espira en función del tiempo, x(t), con la cinemática de cada apartado (movimiento uniforme en a), uniformemente acelerado desde el reposo en b)), y con él el flujo Φ(t). La fem es menos la derivada del flujo.
Para los signos tomamos el vector superficie según +k (perpendicular al plano xy). Como B apunta hacia −k, el flujo sale negativo; una fem positiva indica entonces una corriente que circula en sentido antihorario visto desde +z (el sentido que, por la regla de la mano derecha, corresponde a +k).
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Desarrollo
El campo es perpendicular al plano de la espira, así que el flujo es el producto del campo por el área, con el signo que da el ángulo de 180∘ entre B y S:Φ=B⋅S=−B0bx(t)donde x(t) es la longitud del lado horizontal de la espira, que vale a=1m en t=0.
a) Con velocidad constante, x(t)=a+vt=1+3t (en m). En t=2s, x=7m:Φ(t)=−0,3⋅0,5(1+3t)=−0,15(1+3t)Wb⟹Φ(2)=−0,15⋅7=−1,05WbLey de Faraday:ε=−dtdΦ=0,15⋅3=0,45VEs constante (es B0bv, la fem de un conductor que se mueve con velocidad fija), así que en t=2s también vale 0,45V.
El sentido, por la ley de Lenz: el flujo «hacia dentro del papel» crece, así que la corriente inducida crea un campo hacia fuera (+k) en el interior de la espira para oponerse. Circula en sentido antihorario visto desde +z, de acuerdo con el signo positivo de ε.
b) Partiendo del reposo con aceleración constante, x(t)=a+21αt2=1+t2 (en m), con α=2ms−2. En t=2s, x=5m:Φ(t)=−0,15(1+t2)Wb⟹Φ(2)=−0,15⋅5=−0,75WbDerivando:ε(t)=−dtdΦ=0,15⋅2t=0,3tV⟹ε(2)=0,6VAhora la fem crece con el tiempo porque la varilla va cada vez más deprisa: en t=2s su velocidad es v=αt=4ms−1, y efectivamente B0bv=0,3⋅0,5⋅4=0,6V. El sentido de la corriente es el mismo que en a), antihorario.
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Consejo
No olvides el lado inicial: en t=0 la espira ya mide a=1m, así que x(t)=1+3t, no 3t. El flujo depende de esa longitud; la fem, no, porque la constante desaparece al derivar.
El signo del flujo depende de cómo orientes el vector superficie. Dilo al empezar y usa la ley de Lenz para comprobar que el sentido de la corriente tiene sentido físico.
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