Campo y potencial gravitatorio

a) Tomamos $m_1$ en el origen y $m_2$ en $x = 1\,\text{m}$, con el eje $y$ hacia arriba. El módulo de la fuerza entre las dos masas:$$F_{12} = G\,\frac{m_1\,m_2}{d^2} = 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot\frac{10\cdot 20}{1^2} = 1{,}33\cdot 10^{-8}\ \text{N}$$La gravedad siempre atrae: la fuerza sobre $m_2$ apunta hacia $m_1$, en el sentido $-x$:$$\vec F_{12} = -1{,}33\cdot 10^{-8}\,\vec i\ \ \text{N}$$El peso de $m_2$ es la fuerza con que la atrae la Tierra. La masa está en la superficie, a una distancia $R_T$ del centro:$$P_2 = G\,\frac{M_T\,m_2}{R_T^2} = 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot\frac{5{,}97\cdot 10^{24}\cdot 20}{\left(6{,}37\cdot 10^{6}\right)^2} = 196\ \text{N}$$(Es lo mismo que $m_2\,g_0$ con $g_0 = G M_T/R_T^2 = 9{,}81\ \text{m}\,\text{s}^{-2}$.) Apunta hacia el centro de la Tierra, hacia abajo:$$\vec P_2 = -196\,\vec j\ \ \text{N}$$b) Las dos fuerzas son gravitatorias y su cociente sale de la propia ley:$$\frac{P_2}{F_{12}} = \frac{G M_T m_2/R_T^2}{G m_1 m_2/d^2} = \frac{M_T}{m_1}\cdot\left(\frac{d}{R_T}\right)^2$$Dos factores tiran en sentidos opuestos:

• La masa que atrae: la Tierra tiene $M_T/m_1 = 5{,}97\cdot 10^{23}$ veces más masa que $m_1$.
• La distancia: $m_2$ está $6{,}37\cdot 10^{6}$ veces más lejos del centro de la Tierra que de $m_1$, y como la fuerza va con el inverso del cuadrado, eso la divide por $\left(6{,}37\cdot 10^{6}\right)^2 = 4{,}06\cdot 10^{13}$.

El primero gana con mucho:$$\frac{P_2}{F_{12}} = \frac{5{,}97\cdot 10^{23}}{4{,}06\cdot 10^{13}} = 1{,}47\cdot 10^{10}$$El peso es unos quince mil millones de veces mayor. La razón de fondo es que $G$ es tan pequeña que la atracción gravitatoria solo se nota cuando al menos uno de los cuerpos tiene una masa enorme, como un planeta. Entre objetos cotidianos es tan débil que no se percibe (los dos cuerpos colgados no se acercan de forma apreciable).