Dos hilos conductores rectilíneos, indefinidos y paralelos al eje z se encuentran situados en el plano yz. Uno de los hilos pasa por el punto (0,\,-5,\,0)\ \text{cm} y su corriente tiene una intensidad I_1 = 30\,\text{A} y sentido z positivo. El otro conductor pasa por el punto (0,\,5,\,0)\ \text{cm} y su intensidad de corriente I_2 tiene sentido z negativo. Sabiendo que el módulo del campo magnético en el punto (0,\,0,\,0) es B = 2{,}8\cdot 10^{-4}\ \text{T}, calcule: a) El valor de la intensidad I_2 y el vector campo magnético en el punto (0,\,10,\,0)\ \text{cm}. b) La fuerza magnética por unidad de longitud que actúa sobre el conductor que pasa por el punto (0,\,-5,\,0)\ \text{cm} debida a la presencia del otro, indicando su dirección y sentido. Dato: Permeabilidad magnética del vacío, \mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\ \text{N A}^{-2}.

FísicaMedioProblema · 2 pts

Campo magnético creado por corrientes

También trata: Movimiento de cargas: fuerza de Lorentz

Comunidad de Madrid · 2018 · Julio · Opción B

Enunciado

Dos hilos conductores rectilíneos, indefinidos y paralelos al eje

z

se encuentran situados en el plano

yz

. Uno de los hilos pasa por el punto

(0,\,-5,\,0)\ \text{cm}

y su corriente tiene una intensidad

I_1 = 30\,\text{A}

y sentido

z

positivo. El otro conductor pasa por el punto

(0,\,5,\,0)\ \text{cm}

y su intensidad de corriente

I_2

tiene sentido

z

negativo. Sabiendo que el módulo del campo magnético en el punto

(0,\,0,\,0)

B = 2{,}8\cdot 10^{-4}\ \text{T}

, calcule:

a) El valor de la intensidad

I_2

y el vector campo magnético en el punto

(0,\,10,\,0)\ \text{cm}

.

b) La fuerza magnética por unidad de longitud que actúa sobre el conductor que pasa por el punto

(0,\,-5,\,0)\ \text{cm}

debida a la presencia del otro, indicando su dirección y sentido.

Dato: Permeabilidad magnética del vacío,

\mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\ \text{N A}^{-2}

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Resultado

\boxed{\;I_2 = 40\ \text{A}\qquad \vec B(0,\,10,\,0)\ \text{cm} = 1{,}2\cdot 10^{-4}\,\vec i\ \text{T}\;}

\boxed{\;\frac{\vec F}{L} = -2{,}4\cdot 10^{-3}\,\vec j\ \text{N/m}\ \ (\text{repulsión})\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cada hilo crea un campo de módulo

B = \mu_0 I/2\pi r

, con líneas circulares a su alrededor y sentido dado por la regla de la mano derecha (pulgar en el sentido de la corriente). Todo ocurre en el plano

xy

(un corte perpendicular a los hilos), y en los puntos del eje

y

los dos campos tienen la dirección del eje

x

.

En el origen, entre los dos hilos, las corrientes son opuestas y sus campos se suman (los dos apuntan hacia

-x

): de ahí sale

I_2

. En

(0,\,10,\,0)\ \text{cm}

, fuera del par de hilos, los campos tienen sentidos contrarios y se restan. En b), dos corrientes de sentidos opuestos se repelen: la fuerza sobre el hilo 1 lo aleja del hilo 2.

Desarrollo

a) El campo de un hilo con corriente según

\vec u_I

en un punto cuyo vector de posición respecto del hilo (perpendicular a él) tiene la dirección

\vec u_r

es:

\vec B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}\left(\vec u_I\times\vec u_r\right)

En el origen:

Hilo 1 (en $y = -5\,\text{cm}$ , corriente $+\vec k$ ): $\vec u_r = +\vec j$ y $\vec k\times\vec j = -\vec i$ .
Hilo 2 (en $y = +5\,\text{cm}$ , corriente $-\vec k$ ): $\vec u_r = -\vec j$ y $(-\vec k)\times(-\vec j) = -\vec i$ .

Los dos campos apuntan hacia

-\vec i

y sus módulos se suman. El del hilo 1:

B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi r} = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 30}{2\pi\cdot 0{,}05} = 1{,}2\cdot 10^{-4}\ \text{T}

B_2 = B - B_1 = 2{,}8\cdot 10^{-4} - 1{,}2\cdot 10^{-4} = 1{,}6\cdot 10^{-4}\ \text{T}\quad\Longrightarrow\quad I_2 = \frac{2\pi r\,B_2}{\mu_0} = \frac{2\pi\cdot 0{,}05\cdot 1{,}6\cdot 10^{-4}}{4\pi\cdot 10^{-7}} = 40\ \text{A}

En el punto

P(0,\,10,\,0)\ \text{cm}

los dos hilos quedan por debajo, así que

\vec u_r = +\vec j

para ambos:

Hilo 1, a $r_1 = 0{,}15\,\text{m}$ : $\vec k\times\vec j = -\vec i$ .

\vec B_1 = -\frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 30}{2\pi\cdot 0{,}15}\,\vec i = -4\cdot 10^{-5}\,\vec i\ \text{T}

Hilo 2, a $r_2 = 0{,}05\,\text{m}$ : $(-\vec k)\times\vec j = +\vec i$ .

\vec B_2 = +\frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 40}{2\pi\cdot 0{,}05}\,\vec i = 1{,}6\cdot 10^{-4}\,\vec i\ \text{T}

Sumando:

\vec B(P) = \left(1{,}6\cdot 10^{-4} - 4\cdot 10^{-5}\right)\vec i = 1{,}2\cdot 10^{-4}\,\vec i\ \text{T}

b) Campo que crea el hilo 2 en la posición del hilo 1 (a

d = 0{,}10\,\text{m}

;

\vec u_r = -\vec j

(-\vec k)\times(-\vec j) = -\vec i

\vec B_2(\text{hilo 1}) = -\frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 40}{2\pi\cdot 0{,}10}\,\vec i = -8\cdot 10^{-5}\,\vec i\ \text{T}

Fuerza por unidad de longitud sobre el hilo 1,

\vec F/L = I_1\left(\vec u_{I_1}\times\vec B_2\right)

\frac{\vec F}{L} = 30\left[\vec k\times\left(-8\cdot 10^{-5}\,\vec i\right)\right] = -2{,}4\cdot 10^{-3}\,\vec j\ \text{N/m}

Su módulo coincide con el de la fórmula de la fuerza entre conductores paralelos,

\dfrac{F}{L} = \dfrac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d} = \dfrac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 30\cdot 40}{2\pi\cdot 0{,}10} = 2{,}4\cdot 10^{-3}\ \text{N/m}

. La fuerza tiene la dirección del eje

y

y sentido negativo: el hilo 1 es repelido por el hilo 2, como corresponde a corrientes de sentidos opuestos.

Consejo

Haz un dibujo del plano $xy$ con los dos hilos «saliendo» y «entrando» del papel y las circunferencias del campo. Así ves de un vistazo que entre los hilos los campos se suman y fuera se restan.

Comprueba el sentido de la fuerza con la regla rápida: corrientes en el mismo sentido se atraen y en sentidos opuestos se repelen. Si el producto vectorial te da otra cosa, revisa el orden de los factores.