Una onda armónica transversal de periodo T = 4\,\text{s}, se propaga en el sentido positivo del eje x por una cuerda de gran longitud. En el instante t = 0 la expresión matemática que proporciona la elongación de cualquier punto de la cuerda es: Y(x,\,0) = 0{,}2\,\text{sen}\left(-4\pi x + \frac{\pi}{3}\right) donde x e Y están expresadas en metros. Determine: a) La amplitud, la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda. b) La velocidad y la aceleración de oscilación de un punto de la cuerda de abscisa x = 0{,}40\,\text{m} en el instante t = 8\,\text{s}.

FísicaMedioProblema · 2 pts

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Comunidad de Madrid · 2018 · Julio · Opción B

Enunciado

Una onda armónica transversal de periodo

T = 4\,\text{s}

, se propaga en el sentido positivo del eje

x

por una cuerda de gran longitud. En el instante

t = 0

la expresión matemática que proporciona la elongación de cualquier punto de la cuerda es:

Y(x,\,0) = 0{,}2\,\text{sen}\left(-4\pi x + \frac{\pi}{3}\right)

donde

x

Y

están expresadas en metros. Determine:

a) La amplitud, la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda.

b) La velocidad y la aceleración de oscilación de un punto de la cuerda de abscisa

x = 0{,}40\,\text{m}

en el instante

t = 8\,\text{s}

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Resultado

\boxed{\;A = 0{,}2\ \text{m}\qquad f = 0{,}25\ \text{Hz}\qquad \lambda = 0{,}5\ \text{m}\qquad v = 0{,}125\ \text{m/s}\;}

\boxed{\;v_y = -0{,}210\ \text{m/s}\qquad a_y = -0{,}367\ \text{m/s}^2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La expresión que da el enunciado es una «foto» de la cuerda en

t = 0

: de ella leemos la amplitud y el número de onda

k

, y con el periodo tenemos todo lo demás. Para tener la ecuación completa añadimos el término temporal

\omega t

; como la onda va hacia

+x

\omega t

kx

tienen que llevar signos opuestos, y al hacer

t = 0

tiene que reproducirse la foto:

Y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t - kx + \pi/3)

.

En b) cada punto de la cuerda hace un movimiento armónico simple: su velocidad es la derivada de

Y

respecto del tiempo y su aceleración, la segunda derivada. Basta con evaluar la fase en

x = 0{,}40\,\text{m}

t = 8\,\text{s}

Desarrollo

a) Comparando con

Y(x,0) = A\,\text{sen}(-kx + \varphi_0)

A = 0{,}2\ \text{m}\qquad k = 4\pi\ \text{rad/m}

Frecuencia y longitud de onda:

f = \frac{1}{T} = \frac{1}{4} = 0{,}25\ \text{Hz}\qquad \lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{4\pi} = 0{,}5\ \text{m}

Velocidad de propagación:

v = \frac{\lambda}{T} = \frac{0{,}5}{4} = 0{,}125\ \text{m/s}

b) Con

\omega = 2\pi/T = \pi/2\ \text{rad/s}

, la ecuación de la onda (hacia

+x

, que en

t = 0

coincide con la del enunciado) es:

Y(x,t) = 0{,}2\,\text{sen}\left(\frac{\pi}{2}\,t - 4\pi x + \frac{\pi}{3}\right)\ \text{m}

Derivando respecto del tiempo:

v_y(x,t) = \frac{\partial Y}{\partial t} = 0{,}2\cdot\frac{\pi}{2}\cos\left(\frac{\pi}{2}\,t - 4\pi x + \frac{\pi}{3}\right) = 0{,}1\pi\cos\left(\frac{\pi}{2}\,t - 4\pi x + \frac{\pi}{3}\right)\ \text{m/s}

a_y(x,t) = \frac{\partial^2 Y}{\partial t^2} = -0{,}2\left(\frac{\pi}{2}\right)^2\text{sen}\left(\frac{\pi}{2}\,t - 4\pi x + \frac{\pi}{3}\right)\ \text{m/s}^2

Fase en

x = 0{,}40\,\text{m}

t = 8\,\text{s}

\phi = \frac{\pi}{2}\cdot 8 - 4\pi\cdot 0{,}40 + \frac{\pi}{3} = 4\pi - 1{,}6\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{41\pi}{15}\ \text{rad}

Quitando una vuelta completa (

2\pi

), equivale a

\phi = \dfrac{11\pi}{15}\ \text{rad} = 132^\circ

. Entonces:

v_y = 0{,}1\pi\cos 132^\circ = 0{,}314\cdot(-0{,}669) = -0{,}210\ \text{m/s}

a_y = -0{,}2\cdot\frac{\pi^2}{4}\,\text{sen}\,132^\circ = -0{,}493\cdot 0{,}743 = -0{,}367\ \text{m/s}^2

El punto está por encima de su posición de equilibrio (

Y = 0{,}149\,\text{m}

) y bajando; la aceleración apunta hacia el equilibrio, como en todo MAS.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El enunciado solo da la onda en $t = 0$ . Para añadir el tiempo, fíjate en el sentido de propagación: hacia $+x$ , $\omega t$ y $kx$ van con signos opuestos. Comprueba siempre que al poner $t = 0$ recuperas la expresión del enunciado.

No confundas la velocidad de propagación de la onda ( $0{,}125\,\text{m/s}$ , constante) con la velocidad de vibración de un punto de la cuerda, que cambia con el tiempo. Y pon la calculadora en radianes.