FísicaFácilProblema · 2 pts

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Comunidad de Madrid · 2018 · Julio · Opción A

Enunciado

El nivel de intensidad sonora de la sirena de un barco es de

80\,\text{dB}

10\,\text{m}

de distancia. Suponiendo que la sirena es un foco emisor puntual, calcule:

a) La potencia de la sirena y la intensidad de la onda sonora a

1\,\text{km}

de distancia.

b) Las distancias, medidas desde la posición de la sirena, donde se alcanza un nivel de intensidad sonora de

70\,\text{dB}

(considerado como límite de contaminación acústica) y donde el sonido deja de ser audible.

Datos: Intensidad umbral de audición,

I_0 = 10^{-12}\ \text{W m}^{-2}

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Resultado

\boxed{\;P = 4\pi\cdot 10^{-2}\ \text{W} = 0{,}126\ \text{W}\qquad I(1\,\text{km}) = 10^{-8}\ \text{W/m}^2\;}

\boxed{\;r(70\,\text{dB}) = 31{,}6\ \text{m}\qquad r(0\,\text{dB}) = 10^{5}\ \text{m} = 100\ \text{km}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Un foco puntual reparte su potencia por igual sobre esferas cada vez más grandes, así que la intensidad (potencia por unidad de superficie) baja con el cuadrado de la distancia:

I = P/4\pi r^2

.

Primero pasamos los

80\,\text{dB}

a intensidad con la definición del nivel sonoro; con esa intensidad y la distancia de

10\,\text{m}

sacamos la potencia. A partir de ahí, cualquier otra distancia sale de

I = P/4\pi r^2

. En b) hacemos el camino inverso: del nivel en decibelios a la intensidad y de la intensidad a la distancia. El sonido deja de oírse cuando su intensidad baja al umbral

I_0

, es decir, cuando el nivel es

0\,\text{dB}

Desarrollo

a) El nivel de intensidad sonora es

\beta = 10\log\dfrac{I}{I_0}

. A

10\,\text{m}

80 = 10\log\frac{I_1}{10^{-12}}\quad\Longrightarrow\quad I_1 = 10^{-12}\cdot 10^{8} = 10^{-4}\ \text{W/m}^2

La potencia atraviesa toda la esfera de radio

r_1 = 10\,\text{m}

P = I_1\cdot 4\pi r_1^2 = 10^{-4}\cdot 4\pi\cdot 10^2 = 4\pi\cdot 10^{-2} = 0{,}126\ \text{W}

r_2 = 1\,\text{km} = 1000\,\text{m}

, la misma potencia se reparte sobre una esfera mayor:

I_2 = \frac{P}{4\pi r_2^2} = \frac{4\pi\cdot 10^{-2}}{4\pi\cdot 10^{6}} = 10^{-8}\ \text{W/m}^2

(Es lo mismo que razonar que la distancia se multiplica por

100

y la intensidad se divide entre

100^2 = 10^4

.)

b) Para

70\,\text{dB}

I_3 = 10^{-12}\cdot 10^{7} = 10^{-5}\ \text{W/m}^2

r_3 = \sqrt{\frac{P}{4\pi I_3}} = \sqrt{\frac{4\pi\cdot 10^{-2}}{4\pi\cdot 10^{-5}}} = \sqrt{10^{3}} = 31{,}6\ \text{m}

El sonido deja de ser audible cuando su intensidad es la umbral,

I_0 = 10^{-12}\ \text{W/m}^2

(

0\,\text{dB}

r_4 = \sqrt{\frac{P}{4\pi I_0}} = \sqrt{\frac{4\pi\cdot 10^{-2}}{4\pi\cdot 10^{-12}}} = \sqrt{10^{10}} = 10^{5}\ \text{m} = 100\ \text{km}

En la práctica el sonido se oye mucho menos lejos: el aire absorbe parte de la energía y hay ruido de fondo. El modelo ideal solo tiene en cuenta el reparto geométrico.

Consejo

Cada $10\,\text{dB}$ menos es dividir la intensidad entre $10$ , y como $I \propto 1/r^2$ , la distancia se multiplica por $\sqrt{10}\approx 3{,}16$ . De $80$ a $70\,\text{dB}$ : de $10$ a $31{,}6\,\text{m}$ . De $80$ a $0\,\text{dB}$ (ocho veces): $10\cdot 10^4 = 10^5\,\text{m}$ .

Un error frecuente es restar decibelios como si fueran proporcionales a la distancia. Pasa siempre a intensidad, opera con ella y, si hace falta, vuelve a decibelios al final.