FísicaFácilProblema · 2 pts

Campo y potencial gravitatorio

Comunidad de Madrid · 2018 · Julio · Opción A

Enunciado

La masa de un objeto en la superficie terrestre es de

50\,\text{kg}

. Determine:

a) La masa y el peso del objeto en la superficie de Mercurio.

b) A qué altura sobre la superficie de Mercurio el peso del objeto se reduce a la tercera parte.

Datos: Constante de Gravitación Universal,

G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N m}^2\,\text{kg}^{-2}

; Masa de Mercurio,

M_M = 3{,}30\cdot 10^{23}\ \text{kg}

; Radio de Mercurio,

R_M = 2{,}44\cdot 10^{6}\ \text{m}

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Resultado

\boxed{\;m = 50\ \text{kg}\qquad P = 185\ \text{N}\;}

\boxed{\;h = \left(\sqrt 3 - 1\right)R_M = 1{,}79\cdot 10^{6}\ \text{m}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La masa es una propiedad del objeto: mide cuánta materia tiene y no depende del planeta en el que esté. Lo que cambia es el peso, que es la fuerza con la que el planeta lo atrae y depende de la gravedad del lugar. Así que en a) basta con calcular la gravedad en la superficie de Mercurio y multiplicarla por la masa.

En b) el peso disminuye con el cuadrado de la distancia al centro del planeta. Si queremos que se divida entre tres, la distancia al centro tiene que multiplicarse por

\sqrt 3

; la altura es lo que sobra por encima del radio.

Desarrollo

a) La masa no cambia al llevar el objeto a Mercurio:

m = 50\ \text{kg}

La intensidad del campo gravitatorio en la superficie de Mercurio es:

g_M = \frac{G\,M_M}{R_M^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 3{,}30\cdot 10^{23}}{\left(2{,}44\cdot 10^{6}\right)^2} = 3{,}70\ \text{m/s}^2

El peso es la fuerza gravitatoria sobre el objeto:

P = m\,g_M = 50\cdot 3{,}70 = 185\ \text{N}

b) A una distancia

r = R_M + h

del centro, el peso es

P(r) = \dfrac{G\,M_M\,m}{r^2}

. Dividiendo entre el peso en la superficie, la masa del planeta y la del objeto se van:

\frac{P(r)}{P} = \frac{R_M^2}{r^2} = \frac{1}{3}\quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt{3}\,R_M

La altura sobre la superficie es:

h = r - R_M = \left(\sqrt 3 - 1\right)R_M = 0{,}732\cdot 2{,}44\cdot 10^{6} = 1{,}79\cdot 10^{6}\ \text{m}

A esa altura el peso es

185/3 = 61{,}6\ \text{N}

Consejo

No confundas masa y peso: la masa ( $50\,\text{kg}$ ) es la misma en la Tierra, en Mercurio o en el espacio; el peso es una fuerza y se da en newtons.

En b) trabaja con cocientes: al dividir $P(r)$ entre $P(R_M)$ desaparecen $G$ , $M_M$ y $m$ , y sale $r = \sqrt 3\,R_M$ sin tocar la calculadora. Y no olvides restar el radio: te piden la altura sobre la superficie, no la distancia al centro.