Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

a) Magnitudes de la onda ($A = 20\ \text{cm} = 0{,}2\ \text{m}$):$$\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 30 = 60\pi\ \text{rad/s} = 188{,}5\ \text{rad/s}$$$$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{6}{30} = 0{,}2\ \text{m}\qquad k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{0{,}2} = 10\pi\ \text{rad/m} = 31{,}4\ \text{rad/m}$$Tomamos el foco en $x = 0$. Hacia $-x$ la ecuación es $y = A\,\text{sen}(\omega t + kx + \varphi_0)$. En el foco y en $t = 0$ la elongación es nula: $0 = A\,\text{sen}\,\varphi_0$, así que $\varphi_0 = 0$ (tomamos que el foco empieza subiendo; con $\varphi_0 = \pi$ empezaría bajando):$$y(x,t) = 0{,}2\,\text{sen}\left(60\pi\,t + 10\pi\,x\right)\ \text{m}\qquad (x\ \text{en m},\ t\ \text{en s})$$b) La velocidad de vibración de un punto de la cuerda es:$$v_y = \frac{\partial y}{\partial t} = 0{,}2\cdot 60\pi\,\cos\left(60\pi\,t + 10\pi\,x\right) = 12\pi\,\cos\left(60\pi\,t + 10\pi\,x\right)\ \text{m/s}$$Como la onda avanza hacia la izquierda, la partícula a $1\ \text{m}$ del foco está en $x = -1\ \text{m}$. Primero comprobamos que la onda ya ha llegado: en $4\ \text{s}$ recorre $6\cdot 4 = 24\ \text{m} > 1\ \text{m}$. Sustituimos:$$v_y = 12\pi\,\cos\left(60\pi\cdot 4 - 10\pi\cdot 1\right) = 12\pi\,\cos(230\pi) = 12\pi\cdot 1 = 37{,}7\ \text{m/s}$$Es la velocidad máxima de vibración, $A\omega$: en ese instante la partícula pasa por la posición de equilibrio ($\text{sen}\,230\pi = 0$) subiendo. Tiene sentido: $1\ \text{m}$ son exactamente $5\lambda$, así que vibra en fase con el foco, que a los $4\ \text{s}$ ha dado $120$ oscilaciones completas y vuelve a estar como en $t = 0$. (Si se toma $x = +1\ \text{m}$ el resultado es el mismo por la misma razón.)