Campo y potencial eléctrico

Situamos $A$ en $(0,\,0)$, las cargas $q_1 = q_2 = 2\cdot 10^{-6}\ \text{C}$ en los vértices opuestos $(1,\,0)\ \text{m}$ y $(0,\,1)\ \text{m}$, y el cuarto vértice, vacío, en $(1,\,1)\ \text{m}$. El centro del cuadrado es $O(0{,}5;\ 0{,}5)\ \text{m}$.

a) Cada carga está a $1\ \text{m}$ de $A$, así que los dos campos tienen el mismo módulo:$$E_1 = E_2 = K\,\frac{q}{d^2} = 9\cdot 10^{9}\cdot\frac{2\cdot 10^{-6}}{1^2} = 1{,}8\cdot 10^{4}\ \text{N/C}$$Las cargas son positivas, así que su campo en $A$ se aleja de ellas. La de $(1,\,0)$ empuja hacia $-x$ y la de $(0,\,1)$, hacia $-y$:$$\vec E_1 = -1{,}8\cdot 10^{4}\ \vec i\ \ \text{N/C}\qquad \vec E_2 = -1{,}8\cdot 10^{4}\ \vec j\ \ \text{N/C}$$$$\vec E_A = \vec E_1 + \vec E_2 = \left(-1{,}8\cdot 10^{4}\ \vec i - 1{,}8\cdot 10^{4}\ \vec j\right)\ \text{N/C}$$$$|\vec E_A| = \sqrt{2}\cdot 1{,}8\cdot 10^{4} = 2{,}55\cdot 10^{4}\ \text{N/C}$$El campo va a lo largo de la diagonal que pasa por $A$, hacia fuera del cuadrado (alejándose del centro).

b) Potencial en $A$ (las dos cargas a $1\ \text{m}$):$$V_A = K\,\frac{q_1}{1} + K\,\frac{q_2}{1} = 2\cdot 9\cdot 10^{9}\cdot 2\cdot 10^{-6} = 3{,}60\cdot 10^{4}\ \text{V}$$Potencial en el centro, que está a media diagonal de cada carga, $d_O = \sqrt{2}/2 = 0{,}707\ \text{m}$:$$V_O = 2\cdot 9\cdot 10^{9}\cdot\frac{2\cdot 10^{-6}}{0{,}707} = 5{,}09\cdot 10^{4}\ \text{V}$$Trabajo que hace el campo sobre $q' = -2\cdot 10^{-6}\ \text{C}$ al llevarla de $A$ a $O$:$$W_{A\to O}^{\text{campo}} = q'\,(V_A - V_O) = -2\cdot 10^{-6}\cdot\left(3{,}60\cdot 10^{4} - 5{,}09\cdot 10^{4}\right) = 2{,}98\cdot 10^{-2}\ \text{J}$$El trabajo necesario, el que tiene que hacer un agente externo para llevarla sin que gane energía cinética, es el opuesto:$$W_{A\to O}^{\text{ext}} = -W_{A\to O}^{\text{campo}} = -2{,}98\cdot 10^{-2}\ \text{J}$$Es negativo: la carga negativa es atraída por las dos positivas y se acerca a ellas, así que el traslado lo hace el propio campo. El agente externo, en vez de empujar, tiene que frenarla.