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Campo y potencial gravitatorio

Extremadura · 2018 · Julio · Opción B

Enunciado

Superficies equipotenciales en un campo gravitatorio: definición y propiedades. Cite un ejemplo gráfico. (Calificación, 2 puntos)

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Resultado

Las superficies equipotenciales unen los puntos de igual potencial: sobre ellas el campo no hace trabajo y las líneas de campo las cortan perpendicularmente. Para una masa puntual, son esferas concéntricas.

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Estrategia

Una superficie equipotencial es el conjunto de puntos con el mismo potencial gravitatorio. Sus propiedades salen de dos ideas: el trabajo del campo es

W = -m\,\Delta V

, que vale cero si no cambia el potencial, y el campo apunta siempre hacia donde el potencial disminuye. El ejemplo más claro son las esferas concéntricas alrededor de una masa puntual (o de la Tierra).

Desarrollo

Definición. Una superficie equipotencial es el lugar geométrico de los puntos del espacio que tienen el mismo potencial gravitatorio:

V(x, y, z) = \text{constante}

Para el campo creado por una masa puntual

M

(o por un cuerpo esférico, fuera de él), el potencial a una distancia

r

de su centro es:

V = -\frac{G\,M}{r}

y solo depende de

r

. Por tanto, sus superficies equipotenciales son esferas concéntricas centradas en la masa.

V

se mide en

\text{J/kg}

.

Propiedades.

El trabajo para mover una masa sobre una superficie equipotencial es nulo. El trabajo del campo entre dos puntos es $W_{A\to B} = -m\,(V_B - V_A)$ ; si $A$ y $B$ están en la misma superficie, $V_A = V_B$ y $W = 0$ .
Las líneas de campo son perpendiculares a las superficies equipotenciales en cada punto. Si el campo tuviera una componente a lo largo de la superficie, al desplazar una masa sobre ella el campo haría trabajo, en contra de la propiedad anterior.
El campo apunta hacia los potenciales decrecientes. Una masa abandonada en el campo se mueve espontáneamente hacia donde el potencial es menor (más negativo), es decir, hacia la masa que crea el campo.
Dos superficies equipotenciales no se cortan, porque en cada punto el potencial tiene un único valor.
Donde el campo es más intenso, las superficies están más juntas (si se dibujan con la misma diferencia de potencial entre una y la siguiente), porque el módulo del campo es $g = |\Delta V|/\Delta r$ (la distancia entre las superficies medida a lo largo de la línea de campo): para la misma $\Delta V$ , cuanto mayor es $g$ , menor es $\Delta r$ .

Ejemplo gráfico. Alrededor de la Tierra (o de cualquier masa puntual) se dibujan varias circunferencias concéntricas, que son el corte de las esferas equipotenciales, y las líneas de campo como rectas radiales dirigidas hacia el centro, que cortan perpendicularmente a todas las circunferencias. Si las circunferencias corresponden a valores de

V

igualmente espaciados, están más juntas cerca de la Tierra, donde el campo es más intenso, y se van separando al alejarse.

Cerca de la superficie terrestre, en una región pequeña, el campo es prácticamente uniforme (

g \approx 9{,}8\ \text{N/kg}

, vertical y hacia abajo) y el potencial es

V = g\,h

(tomando

V = 0

en el suelo): las superficies equipotenciales son planos horizontales igualmente espaciados, y las líneas de campo, rectas verticales.

Consejo

La propiedad clave es la perpendicularidad: si te piden dibujar equipotenciales, dibuja primero las líneas de campo y traza las superficies cortándolas en ángulo recto.

En el campo gravitatorio el campo va hacia los potenciales más negativos: no te dejes confundir por el signo menos de $V = -GM/r$ .