Radiactividad y desintegración

a) Constante de desintegración:$$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{28\ \text{años}} = 2{,}48\cdot 10^{-2}\ \text{años}^{-1}$$En el SI, con $1\ \text{año} = 365\cdot 86400\ \text{s} = 3{,}15\cdot 10^{7}\ \text{s}$:$$\lambda = \frac{2{,}476\cdot 10^{-2}}{3{,}1536\cdot 10^{7}\ \text{s}} = 7{,}85\cdot 10^{-10}\ \text{s}^{-1}$$Vida media (tiempo medio que tarda un núcleo en desintegrarse):$$\tau = \frac{1}{\lambda} = \frac{T_{1/2}}{\ln 2} = \frac{28}{0{,}693} = 40{,}4\ \text{años} = 1{,}27\cdot 10^{9}\ \text{s}$$b) Que la muestra se reduzca un 90 % significa que queda el 10 % de la masa inicial: de 1,5 mg quedan $0{,}15\ \text{mg}$. La ley de desintegración vale igual para la masa que para el número de núcleos:$$m = m_0\,e^{-\lambda t}\quad\Longrightarrow\quad \frac{m}{m_0} = e^{-\lambda t} = 0{,}10$$Tomando logaritmos neperianos:$$t = \frac{\ln(m_0/m)}{\lambda} = \frac{\ln 10}{2{,}476\cdot 10^{-2}\ \text{años}^{-1}} = 93{,}0\ \text{años} = 2{,}93\cdot 10^{9}\ \text{s}$$Es un poco más de tres periodos de semidesintegración ($3\,T_{1/2} = 84$ años dejarían el 12,5 %), lo que confirma el orden de magnitud. El resultado no depende de la masa inicial: cualquier muestra de estroncio-90 tarda lo mismo en reducirse al 10 %.

(Si se entendiera que la muestra se reduce al 90 %, es decir, que se desintegra solo un 10 %, saldría $t = \ln(1/0{,}9)/\lambda = 4{,}26$ años; pero «se reduzca un 90 %» indica que lo que desaparece es el 90 %.)