Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

a) Comparando con $y = A\,\text{sen}(\omega t - kx + \varphi_0)$: $A = 3\ \text{m}$, $\omega = 100\ \text{rad/s}$, $k = 5\ \text{rad/m}$ y $\varphi_0 = \pi/2\ \text{rad}$. El signo $-$ entre $\omega t$ y $kx$ indica que la onda avanza hacia las $x$ positivas.$$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{100}{2\pi} = 15{,}9\ \text{Hz}\qquad T = \frac{1}{f} = \frac{2\pi}{100} = 6{,}28\cdot 10^{-2}\ \text{s}$$$$\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{5} = 1{,}26\ \text{m}$$(La velocidad de propagación es $v = \omega/k = 20\ \text{m/s}$.)

b) Elongación en $t = 0$:$$y(x,0) = 3\,\text{sen}\left(\frac{\pi}{2} - 5x\right) = 3\cos(5x)\ \text{m}$$Velocidad de vibración:$$v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = 300\cos\left(100\,t - 5x + \frac{\pi}{2}\right)\ \text{m/s}$$y en $t = 0$:$$v_y(x,0) = 300\cos\left(\frac{\pi}{2} - 5x\right) = 300\,\text{sen}(5x)\ \text{m/s}$$Las dos son funciones periódicas de $x$ con periodo espacial $\lambda = 1{,}26\ \text{m}$; la elongación es un coseno de amplitud $3\ \text{m}$ y la velocidad un seno de amplitud $A\omega = 300\ \text{m/s}$, desfasados un cuarto de longitud de onda. Valores en los puntos clave:Gráficas (descripción): en la de $y$ frente a $x$, una cosinusoide que empieza en su máximo ($y = 3\ \text{m}$ en $x = 0$), corta el eje en $x = 0{,}314\ \text{m}$, llega al mínimo ($-3\ \text{m}$) en $x = 0{,}628\ \text{m}$ y vuelve al máximo en $x = 1{,}26\ \text{m}$. En la de $v_y$ frente a $x$, una sinusoide que empieza en $0$, tiene su máximo ($300\ \text{m/s}$) en $x = 0{,}314\ \text{m}$, vuelve a $0$ en $0{,}628\ \text{m}$ y tiene su mínimo ($-300\ \text{m/s}$) en $0{,}942\ \text{m}$.

Se ve que los puntos con elongación máxima (crestas y valles) están parados ($v_y = 0$) y que los que pasan por la posición de equilibrio ($y = 0$) se mueven con la velocidad máxima.