Satélites, órbitas y leyes de Kepler

a) Datos en el SI: $r_T = 1{,}50\cdot 10^{11}\ \text{m}$, $T_T = 365\cdot 86400 = 3{,}154\cdot 10^{7}\ \text{s}$ y $r_M = 5{,}79\cdot 10^{10}\ \text{m}$.

En una órbita circular, la fuerza gravitatoria del Sol es la fuerza centrípeta:$$\frac{G M_S m}{r^2} = m\,\frac{4\pi^2 r}{T^2}\quad\Longrightarrow\quad \frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{G M_S}$$El cociente es el mismo para todos los planetas (tercera ley de Kepler), así que:$$\frac{T_M^2}{r_M^3} = \frac{T_T^2}{r_T^3}\quad\Longrightarrow\quad T_M = T_T\left(\frac{r_M}{r_T}\right)^{3/2} = 3{,}154\cdot 10^{7}\left(\frac{57{,}9}{150}\right)^{3/2} = 7{,}56\cdot 10^{6}\ \text{s}$$Son unos 87,5 días. La velocidad de traslación de Mercurio es:$$v_M = \frac{2\pi r_M}{T_M} = \frac{2\pi\cdot 5{,}79\cdot 10^{10}}{7{,}563\cdot 10^{6}} = 4{,}81\cdot 10^{4}\ \text{m/s}$$Comprobación: como $v = \sqrt{G M_S/r}$, $v_M = v_T\sqrt{r_T/r_M}$, con $v_T = 2\pi r_T/T_T = 2{,}99\cdot 10^{4}\ \text{m/s}$; da el mismo valor. Mercurio, más cerca del Sol, se mueve más deprisa que la Tierra.

b) Densidad en el SI: $\rho = 5{,}43\ \text{g/cm}^3 = 5430\ \text{kg/m}^3$.

La gravedad en la superficie de un planeta esférico de radio $R$ es $g = GM/R^2$, con $M = \rho\,\frac{4}{3}\pi R^3$:$$g = \frac{G\,\rho\,\frac{4}{3}\pi R^3}{R^2} = \frac{4}{3}\pi G\rho R\quad\Longrightarrow\quad R = \frac{3g}{4\pi G\rho}$$$$R = \frac{3\cdot 3{,}7}{4\pi\cdot 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5430} = 2{,}44\cdot 10^{6}\ \text{m}$$El diámetro es el doble:$$D = 2R = 4{,}88\cdot 10^{6}\ \text{m} \approx 4880\ \text{km}$$