FísicaFácil1,5 pts

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Castilla y León · 2018 · Junio · Opción A

Enunciado

Una onda transversal se propaga en el sentido negativo del eje X con velocidad

5\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

. Su longitud de onda es

1{,}4\ \text{m}

y su amplitud

3\ \text{m}

.

a) (0,75 puntos) Escriba la ecuación de la onda, suponiendo que en el punto

x = 0

la perturbación es nula cuando

t = 0

.

b) (0,75 puntos) ¿Cuál es la velocidad de vibración máxima de un punto del medio?

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;y(x,t) = 3\,\text{sen}\left(22{,}4\,t + 4{,}49\,x\right)\ \text{m}\;}

\boxed{\;v_{y,\text{máx}} = 67{,}3\ \text{m/s}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La ecuación de una onda armónica que avanza hacia las

x

negativas es

y = A\,\text{sen}(\omega t + kx + \varphi_0)

: el signo

+

entre

\omega t

kx

indica ese sentido. Se calculan

k

\omega

con la longitud de onda y la velocidad, y la fase inicial con la condición

y(0, 0) = 0

.

La velocidad de vibración es la derivada temporal de

y

; su valor máximo es

A\omega

Desarrollo

a) Número de onda y frecuencia angular:

k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{1{,}4} = 4{,}49\ \text{rad/m}\qquad \omega = k\,v = 4{,}488\cdot 5 = 22{,}4\ \text{rad/s}

(Equivale a un periodo

T = \lambda/v = 0{,}28\ \text{s}

y una frecuencia

f = 3{,}57\ \text{Hz}

.)

Como se propaga en el sentido negativo del eje X:

y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t + kx + \varphi_0)

Condición inicial:

y(0,0) = 3\,\text{sen}\,\varphi_0 = 0 \Rightarrow \varphi_0 = 0

(también valdría

\varphi_0 = \pi

; tomamos la más sencilla). La ecuación de la onda, en unidades del SI, es:

y(x,t) = 3\,\text{sen}\left(22{,}4\,t + 4{,}49\,x\right)\ \text{m}

o, con valores exactos,

y(x,t) = 3\,\text{sen}\left(\dfrac{50\pi}{7}\,t + \dfrac{10\pi}{7}\,x\right)\ \text{m}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) La velocidad de vibración de un punto del medio (perpendicular a la propagación, porque la onda es transversal) es:

v_y = \frac{\partial y}{\partial t} = A\,\omega\,\cos(\omega t + kx)

Su valor máximo se alcanza cuando el coseno vale

\pm 1

, al pasar el punto por la posición de equilibrio:

v_{y,\text{máx}} = A\,\omega = 3\cdot 22{,}44 = 67{,}3\ \text{m/s}

No hay que confundirla con la velocidad de propagación de la onda,

v = 5\ \text{m/s}

, que es la misma para todos los puntos y constante.

Consejo

El sentido de propagación lo da el signo relativo de $\omega t$ y $kx$ : iguales, hacia $-x$ ; distintos, hacia $+x$ . Comprueba el signo antes de poner la fase inicial.

Distingue siempre la velocidad de la onda ( $v = \lambda/T$ , constante) de la velocidad de vibración de cada punto ( $\partial y/\partial t$ , que oscila entre $-A\omega$ y $A\omega$ ).