Satélites, órbitas y leyes de Kepler

a) Pasamos el periodo al SI: $T = 92\cdot 60 = 5520\ \text{s}$.

Igualando la fuerza gravitatoria a la centrípeta, con $v = 2\pi r/T$:$$\frac{G M_T m}{r^2} = m\,\frac{4\pi^2 r}{T^2}\quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt[3]{\frac{G M_T T^2}{4\pi^2}}$$$$r = \sqrt[3]{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}\cdot 5520^2}{4\pi^2}} = 6{,}75\cdot 10^{6}\ \text{m}$$La altura sobre la superficie es:$$h = r - R_T = 6{,}752\cdot 10^{6} - 6{,}37\cdot 10^{6} = 3{,}82\cdot 10^{5}\ \text{m} = 382\ \text{km}$$La velocidad orbital:$$v = \frac{2\pi r}{T} = \frac{2\pi\cdot 6{,}752\cdot 10^{6}}{5520} = 7{,}69\cdot 10^{3}\ \text{m/s}$$(Sale lo mismo con $v = \sqrt{G M_T/r}$.)

b) La energía mecánica de un satélite en órbita circular de radio $r$ es:$$E_m = E_c + E_p = \frac{1}{2}\,m\,\frac{G M_T}{r} - \frac{G M_T m}{r} = -\frac{G M_T m}{2r}$$En la órbita inicial:$$E_1 = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}\cdot 4{,}5\cdot 10^{5}}{2\cdot 6{,}752\cdot 10^{6}} = -1{,}33\cdot 10^{13}\ \text{J}$$Con el radio doble, $E_2 = -\dfrac{G M_T m}{4r} = \dfrac{E_1}{2} = -6{,}65\cdot 10^{12}\ \text{J}$.

La energía que hay que aportar es la variación de energía mecánica:$$\Delta E = E_2 - E_1 = \frac{G M_T m}{4r} = -6{,}65\cdot 10^{12} - \left(-1{,}33\cdot 10^{13}\right) = 6{,}65\cdot 10^{12}\ \text{J}$$Es positiva: para alejarse, la estación tiene que ganar energía (su energía mecánica se hace menos negativa), aunque en la órbita nueva vaya más despacio.