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Campo y potencial eléctrico

También trata: Movimiento de cargas: fuerza de Lorentz

Castilla y León · 2018 · Julio · Opción B

Enunciado

Dos cargas puntuales iguales de

2\ \mu\text{C}

se encuentran, respectivamente, en los puntos

\text{A}\,(1, 0)

\text{B}\,(0, -4)

, donde las coordenadas vienen dadas en el S.I.

a) (1,5 puntos) Calcule el campo eléctrico en el punto

\text{C}\,(-3, 0)

y el trabajo necesario para trasladar una carga de

1\ \mu\text{C}

desde un punto infinitamente alejado hasta el punto C. Interprete el signo.

b) (1,5 puntos) En una región del espacio el campo eléctrico es nulo. ¿Qué puede decirse del potencial eléctrico en dicha región? Si en esta región existe un campo magnético uniforme y un electrón entra en ella con una cierta velocidad ¿qué puede decirse de ésta mientras el electrón se mueve dentro de la región? ¿Y de su energía cinética? Razone las respuestas.

Datos (de la tabla de constantes del examen):

K_0 = 1/(4\pi\varepsilon_0) = 9{,}00\cdot 10^{9}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{C}^{-2}

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Resultado

\boxed{\;\vec E_C = (-1557\,\vec i + 576\,\vec j)\ \text{N/C}\qquad |\vec E_C| = 1{,}66\cdot 10^{3}\ \text{N/C}\;}

\boxed{\;W_{\text{ext}} = q'\,V_C = 8{,}10\cdot 10^{-3}\ \text{J}\ \ (\text{contra la repulsión})\;}

Con

\vec E = 0

V

es constante. En el campo magnético, la rapidez y la energía cinética del electrón no cambian; solo la dirección de su velocidad.

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El campo en C es la suma vectorial de los campos de las dos cargas: cada uno tiene módulo

K_0 q/r^2

y, como las cargas son positivas, apunta alejándose de la carga que lo crea. El potencial es escalar y se suma sin más.

El trabajo que hay que hacer (fuerza externa) para traer la carga desde el infinito, sin variar su energía cinética, es igual al aumento de energía potencial,

W_{\text{ext}} = q'\,(V_C - V_\infty)

.

En b),

\vec E = -\nabla V

dice qué pasa con el potencial, y la fuerza magnética, siempre perpendicular a la velocidad, no hace trabajo.

Desarrollo

a) Distancias y vectores unitarios desde cada carga hasta C:

\overrightarrow{AC} = (-3-1,\ 0-0) = (-4,\ 0)\ \text{m}\qquad r_A = 4\ \text{m}\qquad \vec u_A = (-1,\ 0)

\overrightarrow{BC} = (-3-0,\ 0+4) = (-3,\ 4)\ \text{m}\qquad r_B = 5\ \text{m}\qquad \vec u_B = (-0{,}6;\ 0{,}8)

Módulos de los campos (

q = 2\cdot 10^{-6}\ \text{C}

E_A = \frac{K_0\,q}{r_A^2} = \frac{9\cdot 10^{9}\cdot 2\cdot 10^{-6}}{4^2} = 1125\ \text{N/C}\qquad E_B = \frac{K_0\,q}{r_B^2} = \frac{9\cdot 10^{9}\cdot 2\cdot 10^{-6}}{5^2} = 720\ \text{N/C}

Vectores (las cargas son positivas, así que cada campo va en el sentido de su

\vec u

\vec E_A = -1125\,\vec i\ \text{N/C}\qquad \vec E_B = 720\,(-0{,}6\,\vec i + 0{,}8\,\vec j) = (-432\,\vec i + 576\,\vec j)\ \text{N/C}

Por el principio de superposición:

\vec E_C = \vec E_A + \vec E_B = (-1557\,\vec i + 576\,\vec j)\ \text{N/C}\qquad |\vec E_C| = \sqrt{1557^2 + 576^2} = 1{,}66\cdot 10^{3}\ \text{N/C}

Apunta hacia la izquierda y algo hacia arriba: forma

\arctan(576/1557) = 20{,}3^\circ

por encima del semieje

-X

(un ángulo de

159{,}7^\circ

con el semieje

+X

).

Potencial en C (con

V = 0

en el infinito):

V_C = K_0\,q\left(\frac{1}{r_A} + \frac{1}{r_B}\right) = 9\cdot 10^{9}\cdot 2\cdot 10^{-6}\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{5}\right) = 8{,}10\cdot 10^{3}\ \text{V}

Trabajo que debe hacer un agente externo para traer

q' = 1\cdot 10^{-6}\ \text{C}

desde el infinito hasta C sin que gane energía cinética:

W_{\text{ext}} = q'\,(V_C - V_\infty) = 1\cdot 10^{-6}\cdot(8100 - 0) = 8{,}10\cdot 10^{-3}\ \text{J}

Interpretación del signo. El trabajo externo es positivo: las cargas fijas y la que se trae son todas positivas, así que se repelen, y hay que empujar la carga contra el campo para acercarla. El trabajo que hace el propio campo es el opuesto,

W_{\text{campo}} = -8{,}10\cdot 10^{-3}\ \text{J}

: el campo se opone al desplazamiento, y esos

8{,}10\cdot 10^{-3}\ \text{J}

quedan almacenados como energía potencial de la carga en C.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Potencial. El campo y el potencial están relacionados por $\vec E = -\nabla V$ (en una dimensión, $E_x = -dV/dx$ ): el campo mide cómo cambia el potencial de un punto a otro. Si $\vec E = 0$ en toda la región, el potencial no varía: es constante en esa región (no necesariamente nulo). Dicho de otro modo, $V_A - V_B = \int_A^B \vec E\cdot d\vec r = 0$ entre dos puntos cualesquiera de la región: toda ella es equipotencial.
Velocidad del electrón. Sin campo eléctrico, la única fuerza es la magnética:

\vec F = q\,\vec v\times\vec B = -e\,\vec v\times\vec B

Esta fuerza es siempre perpendicular a la velocidad, así que no cambia su módulo, solo su dirección. Por tanto, la rapidez del electrón es constante. Su dirección cambia salvo que entre paralelo a

\vec B

(entonces

\vec F = 0

y sigue en línea recta): si entra perpendicular al campo describe una circunferencia (movimiento circular uniforme de radio

r = m_e v/(eB)

), y en un caso general, una hélice. La velocidad, como vector, cambia; su módulo, no.

Energía cinética. Como la fuerza magnética es perpendicular al desplazamiento en todo momento, su trabajo es nulo ( $dW = \vec F\cdot d\vec r = 0$ ). Por el teorema de las fuerzas vivas, $\Delta E_c = W = 0$ : la energía cinética permanece constante, coherente con que el módulo de la velocidad no cambie.

Consejo

En «interprete el signo» di siempre quién hace el trabajo: el externo es positivo y el del campo, negativo. Mezclar los dos es el fallo más común en este tipo de pregunta.

Campo nulo no significa potencial nulo, sino potencial constante: es un clásico de las preguntas de razonar.

Paso 1 de 3

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