Campo y potencial gravitatorio

a) Un campo de fuerzas es conservativo cuando el trabajo que realiza sobre una partícula que se desplaza entre dos puntos A y B depende solo de esos puntos y no de la trayectoria seguida. De forma equivalente, el trabajo a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es nulo:$$\oint \vec F\cdot d\vec r = 0$$Por eso a cada punto se le puede asignar una energía potencial $E_p$, de modo que el trabajo del campo es menos su variación: $W_{A\to B} = -\Delta E_p = E_p(A) - E_p(B)$. Y si solo actúan fuerzas conservativas, la energía mecánica se conserva.

El campo gravitatorio es conservativo. La fuerza que una masa $M$ ejerce sobre otra $m$ es central (siempre dirigida hacia $M$) y su módulo solo depende de la distancia $r$:$$\vec F = -\frac{G\,M\,m}{r^2}\,\vec u_r$$Al calcular el trabajo entre A y B, en cada tramo solo cuenta el desplazamiento radial $dr$ (el desplazamiento perpendicular a $\vec u_r$ no aporta trabajo):$$W_{A\to B} = \int_{r_A}^{r_B} -\frac{G\,M\,m}{r^2}\,dr = G\,M\,m\left(\frac{1}{r_B} - \frac{1}{r_A}\right)$$El resultado solo depende de $r_A$ y $r_B$, no del camino. Por tanto, el campo es conservativo y tiene asociada la energía potencial $E_p = -\dfrac{G\,M\,m}{r}$ (con $E_p = 0$ en el infinito).

b)

• Fuerza gravitatoria: es la interacción atractiva entre dos cuerpos por el hecho de tener masa. Según la ley de gravitación universal de Newton, dos masas puntuales $M$ y $m$ separadas una distancia $r$ se atraen con una fuerza dirigida según la recta que las une, proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia:

$$\vec F = -\frac{G\,M\,m}{r^2}\,\vec u_r$$donde $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}$ y $\vec u_r$ es el vector unitario que va de $M$ hacia $m$. Se mide en newtons (N) y siempre actúa por parejas (acción y reacción).

• Campo gravitatorio: es la perturbación que una masa $M$ crea en el espacio que la rodea, por la cual cualquier otra masa colocada allí sentiría una fuerza. Se describe con la intensidad de campo $\vec g$, que es la fuerza por unidad de masa que actuaría sobre una masa de prueba colocada en ese punto:

$$\vec g = \frac{\vec F}{m} = -\frac{G\,M}{r^2}\,\vec u_r$$Depende solo de la masa que lo crea y del punto, no de la masa de prueba. Se mide en $\text{N/kg}$ (equivalente a $\text{m/s}^2$) y siempre apunta hacia la masa que lo crea.

• Relación: la fuerza sobre una masa $m$ situada en un punto donde el campo vale $\vec g$ es

$$\vec F = m\,\vec g$$La fuerza y el campo tienen la misma dirección y el mismo sentido (la masa es siempre positiva). El campo existe aunque no haya ninguna masa en el punto; la fuerza aparece cuando se coloca una.