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Radiactividad y desintegración

Castilla y León · 2018 · Julio · Opción A

Enunciado

Se toma una muestra de madera de un sarcófago antiguo y se mide la actividad del

^{14}\text{C}

que queda en ella, obteniéndose un resultado de

14400

desintegraciones al día por cada gramo de muestra. Una muestra actual del mismo tipo de madera presenta

900

desintegraciones por gramo cada hora. Sabiendo que el período de semidesintegración del

^{14}\text{C}

5730

años,

a) (1 punto) Determine la antigüedad del sarcófago.

b) (1 punto) Calcule la actividad de la muestra del sarcófago dentro de

1000

años.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;t = \frac{5730}{\ln 2}\,\ln 1{,}5 = 3{,}35\cdot 10^{3}\ \text{años}\;}

\boxed{\;A' = 1{,}28\cdot 10^{4}\ \text{des}/(\text{g}\cdot\text{día}) = 0{,}148\ \text{Bq/g}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La actividad decae con la misma ley exponencial que el número de núcleos,

A = A_0\,e^{-\lambda t}

. La madera actual da la actividad inicial

A_0

(la que tenía la madera del sarcófago cuando se cortó el árbol), y la del sarcófago es la actividad actual

A

.

Lo único delicado es que las dos actividades vienen en unidades distintas (por día y por hora): hay que pasarlas a la misma antes de dividir. Después se despeja

t

con logaritmos y, en b), se aplica la ley otros 1000 años.

Desarrollo

a) Constante de desintegración:

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{\ln 2}{5730\ \text{años}} = 1{,}21\cdot 10^{-4}\ \text{años}^{-1}

Actividades por gramo en las mismas unidades (desintegraciones al día):

A_0 = 900\ \frac{\text{des}}{\text{g}\cdot\text{h}}\cdot 24\ \frac{\text{h}}{\text{día}} = 21\,600\ \frac{\text{des}}{\text{g}\cdot\text{día}}\qquad A = 14\,400\ \frac{\text{des}}{\text{g}\cdot\text{día}}

Ley de desintegración aplicada a la actividad:

A = A_0\,e^{-\lambda t}\quad\Longrightarrow\quad t = \frac{1}{\lambda}\,\ln\frac{A_0}{A} = \frac{5730}{\ln 2}\,\ln\frac{21\,600}{14\,400} = \frac{5730}{\ln 2}\,\ln 1{,}5

t = 3{,}35\cdot 10^{3}\ \text{años}

El sarcófago tiene unos

3350

años: le queda

2/3

de la actividad inicial, y como es más de la mitad, su edad es menor que un periodo de semidesintegración, como debe ser.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Dentro de

1000

años, partiendo de la actividad actual:

A' = A\,e^{-\lambda\cdot 1000} = 14\,400\cdot e^{-\frac{\ln 2}{5730}\cdot 1000} = 14\,400\cdot 0{,}886 = 1{,}28\cdot 10^{4}\ \frac{\text{des}}{\text{g}\cdot\text{día}}

En el SI, dividiendo entre los

86\,400\ \text{s}

de un día:

A' = \frac{1{,}276\cdot 10^{4}}{86\,400} = 0{,}148\ \text{Bq por gramo}

Consejo

Antes de dividir actividades, comprueba que estén en las mismas unidades: aquí una viene por día y otra por hora, y sin convertirlas saldría que la madera antigua es más activa que la actual.

Comprueba siempre el orden de magnitud: si queda más de la mitad de la actividad, la edad tiene que ser menor que el periodo de semidesintegración.

Paso 1 de 3

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