Campo magnético creado por corrientes

a) Campo que crea el conductor 1 ($I_1 = 10\ \text{A}$) a la distancia $d = 0{,}40\ \text{m}$, donde está el conductor 2:$$B_1 = \frac{\mu_0\,I_1}{2\pi d} = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 10}{2\pi\cdot 0{,}40} = 5{,}00\cdot 10^{-6}\ \text{T}$$Ese campo es perpendicular al conductor 2, así que la fuerza sobre un tramo de longitud $L$ es $F = I_2\,L\,B_1$ y, por unidad de longitud:$$\frac{F}{L} = I_2\,B_1 = \frac{\mu_0\,I_1\,I_2}{2\pi d} = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 10\cdot 20}{2\pi\cdot 0{,}40} = 1{,}00\cdot 10^{-4}\ \text{N/m}$$Sobre el conductor 1 actúa una fuerza igual y de sentido contrario (se obtiene lo mismo con $B_2 = 1{,}00\cdot 10^{-5}\ \text{T}$ e $I_1 = 10\ \text{A}$).

Sentido. Si el conductor 1 lleva la corriente hacia arriba y el 2 está a su derecha, con la regla de la mano derecha $\vec B_1$ en el conductor 2 entra en el papel. El conductor 2 lleva la corriente hacia abajo: $\vec F_2 = I_2\,\vec L\times\vec B_1$, con $\vec L$ hacia abajo y $\vec B_1$ hacia dentro, apunta hacia la derecha, es decir, alejándose del conductor 1.

Diagrama. Dos rectas verticales paralelas separadas $40\ \text{cm}$: la de la izquierda con una flecha de corriente hacia arriba ($10\ \text{A}$) y la de la derecha hacia abajo ($20\ \text{A}$). En la de la derecha, el símbolo $\otimes$ de $\vec B_1$ y una flecha horizontal hacia la derecha, $\vec F_2$; en la de la izquierda, el símbolo $\otimes$ de $\vec B_2$ y una flecha horizontal hacia la izquierda, $\vec F_1$, del mismo tamaño. Las fuerzas son perpendiculares a los conductores, en el plano que forman, y repulsivas: corrientes en sentidos contrarios se repelen.

b) La fuerza sobre una carga $q$ con velocidad $\vec v$ es la fuerza de Lorentz:$$\vec F = q\,\vec E + q\,\vec v\times\vec B$$

• Solo campo magnético uniforme: sí puede ser cero. $F = |q|\,v\,B\,\operatorname{sen}\alpha$, con $\alpha$ el ángulo entre $\vec v$ y $\vec B$. Si la partícula se mueve en la dirección del campo ($\alpha = 0^\circ$ o $180^\circ$), el producto vectorial es nulo y la partícula sigue en línea recta con velocidad constante.
• Solo campo eléctrico uniforme: no puede ser cero. La fuerza $\vec F = q\,\vec E$ no depende de la velocidad: si la carga y el campo no son nulos, siempre hay fuerza, de módulo $|q|\,E$ y en la dirección del campo (en su sentido si $q > 0$ y en el contrario si $q < 0$).
• Campo eléctrico y magnético a la vez: sí puede ser cero, si las dos fuerzas se compensan:

$$q\,\vec E + q\,\vec v\times\vec B = 0\quad\Longrightarrow\quad \vec E = -\,\vec v\times\vec B$$Para eso $\vec E$ tiene que ser perpendicular a $\vec B$ y a $\vec v$, con el sentido adecuado. En el caso habitual, con $\vec E$, $\vec v$ y $\vec B$ perpendiculares entre sí, la condición de módulos es $q\,E = q\,v\,B$, es decir, $v = E/B$. La partícula atraviesa la región sin desviarse: es el selector de velocidades.