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Satélites, órbitas y leyes de Kepler

También trata: Campo y potencial gravitatorio

Castilla y León · 2018 · Julio · Opción A

Enunciado

a) (0,75 puntos) La velocidad de escape desde la superficie de Urano es

19{,}9\ \text{km}\,\text{s}^{-1}

y la gravedad en su superficie es

7{,}8\ \text{m}\,\text{s}^{-2}

. Calcule el radio de Urano.

b) (0,75 puntos) El radio medio de la órbita de Urano alrededor del Sol es

19{,}19

veces mayor que el de la Tierra alrededor del Sol. Encuentre la duración del año uraniano.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;R_U = \frac{v_e^2}{2\,g_0} = 2{,}54\cdot 10^{7}\ \text{m}\;}

\boxed{\;T_U = 19{,}19^{3/2}\ \text{años} = 84{,}1\ \text{años}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La velocidad de escape y la gravedad en la superficie dependen las dos de

GM

y de

R

. Si se escribe la velocidad de escape en función de

g_0

GM

desaparece y queda una ecuación con el radio como única incógnita.

Para b), la tercera ley de Kepler: los dos planetas giran alrededor del Sol, así que

T^2/r^3

es el mismo para ambos y basta comparar con la Tierra, cuyo año dura 1 año.

Desarrollo

a) La velocidad de escape sale de igualar a cero la energía mecánica en la superficie (el cuerpo llega al infinito con velocidad nula):

\frac{1}{2}m\,v_e^2 - \frac{G\,M\,m}{R} = 0\quad\Longrightarrow\quad v_e = \sqrt{\frac{2\,G\,M}{R}}

La gravedad en la superficie es

g_0 = \dfrac{G\,M}{R^2}

, de modo que

G\,M = g_0\,R^2

. Sustituyendo:

v_e = \sqrt{\frac{2\,g_0\,R^2}{R}} = \sqrt{2\,g_0\,R}\quad\Longrightarrow\quad R = \frac{v_e^2}{2\,g_0}

Con

v_e = 19{,}9\ \text{km/s} = 1{,}99\cdot 10^{4}\ \text{m/s}

R = \frac{\left(1{,}99\cdot 10^{4}\right)^2}{2\cdot 7{,}8} = 2{,}54\cdot 10^{7}\ \text{m}

Unos

25\,400\ \text{km}

, unas cuatro veces el radio de la Tierra.

b) Tercera ley de Kepler para dos planetas que giran alrededor del mismo astro:

\frac{T_U^2}{r_U^3} = \frac{T_T^2}{r_T^3}\quad\Longrightarrow\quad T_U = T_T\left(\frac{r_U}{r_T}\right)^{3/2}

Con

r_U = 19{,}19\,r_T

T_T = 1\ \text{año}

T_U = 1\cdot 19{,}19^{3/2} = 84{,}1\ \text{años}

En segundos,

T_U = 84{,}1\cdot 3{,}156\cdot 10^{7} = 2{,}65\cdot 10^{9}\ \text{s}

Consejo

Cuando el enunciado da la gravedad en la superficie y no la masa, usa $GM = g_0R^2$ : es el truco que elimina la masa del planeta en casi todos estos ejercicios.

En Kepler no hace falta la masa del Sol: compara con la Tierra y trabaja en años, y la cuenta sale directa.

Paso 1 de 3

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