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Movimiento de cargas: fuerza de Lorentz

Cataluña · 2018 · Junio · Opción A

Enunciado

Un protón en reposo es acelerado en el sentido positivo del eje

x

hasta alcanzar una velocidad de

1{,}00\times 10^{5}\ \text{m s}^{-1}

. Entonces, penetra en un espectrómetro de masas donde existe un campo magnético

\vec B = 1{,}00\times 10^{-2}\ \text{T}\ \vec k

.

a) (1 punto) Calcule la fuerza (módulo, dirección y sentido) que actúa sobre el protón.

b) (1 punto) Calcule el campo magnético (módulo, dirección y sentido) tal que, si entra un electrón con la misma velocidad en el espectrómetro, siga la misma trayectoria que el protón.

Datos: Carga elemental,

e = 1{,}60\times 10^{-19}\ \text{C}

. Masa del protón,

m_p = 1{,}67\times 10^{-27}\ \text{kg}

. Masa del electrón,

m_e = 9{,}11\times 10^{-31}\ \text{kg}

k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 8{,}99\times 10^{9}\ \text{N m}^2\,\text{C}^{-2}

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Resultado

\boxed{\;\vec F = -1{,}60\times 10^{-16}\,\vec j\ \text{N}\;}\qquad \boxed{\;\vec B = -5{,}45\times 10^{-6}\,\vec k\ \text{T}\;}

Ver la solución oficialla corrección de la PAU, con los puntos de cada paso

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

0,2 p.

\vec F = q\vec v\times\vec B

0,8 p.

\vec F = 1{,}60\cdot 10^{-19}\left(1{,}00\cdot 10^{5}\,\vec i\times 1{,}00\cdot 10^{-2}\,\vec k\right) = -1{,}60\cdot 10^{-16}\,\vec j\ \text{N}

b)

El radio de la trayectoria del protón viene dado por:

0,4 p.

\begin{cases}\text{Queremos que: } r_p = r_e;\ \ qvB = m\,\dfrac{v^2}{r}\\[4pt] v_p = v_e\\[4pt] \dfrac{m_p v_p}{q_p B_p} = \dfrac{m_e v_e}{q_e B_e}\end{cases}

0,4 p.

B_e = \dfrac{m_e}{m_p}\,B_p = \dfrac{9{,}11\times 10^{-31}}{1{,}67\times 10^{-27}}\times 10^{-2} = 5{,}45\times 10^{-6}\ \text{T}

0,2 p. El campo tendrá este módulo y la misma dirección que el primer campo, pero sentido contrario, ya que la carga del electrón tiene signo contrario a la del protón.