FísicaMedio2 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

También trata: Campo y potencial gravitatorio
Cataluña · 2018 · Septiembre
Enunciado
Uno de los exoplanetas con más posibilidades de albergar vida es Ross 128 b. Gira alrededor de la estrella Ross 128 con un período orbital de 9,99{,}9 días, en una órbita prácticamente circular de radio 7,42×106 km7{,}42\times 10^{6}\ \text{km}, y su masa es 1,351{,}35 veces la masa de la Tierra.
Órbita circular del exoplaneta Ross 128 b alrededor de la estrella Ross 128, situada en el centro
Órbita circular del exoplaneta Ross 128 b alrededor de la estrella Ross 128, situada en el centro
a) (1 punto) Calcule la masa de la estrella Ross 128.

b) (1 punto) Suponiendo que el exoplaneta Ross 128 b tenga la misma densidad que la Tierra, calcule su radio y el módulo de la intensidad del campo gravitatorio en su superficie.

Datos: G=6,67×10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\times 10^{-11}\ \text{N m}^2\,\text{kg}^{-2}; masa de la Tierra, MT=5,98×1024 kgM_T = 5{,}98\times 10^{24}\ \text{kg}; radio de la Tierra, RT=6,37×106 mR_T = 6{,}37\times 10^{6}\ \text{m}.
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Resultado
  M=3,30×1029 kg    rX=7,04×106 m    g=10,9 m⋅s−2  \boxed{\;M = 3{,}30\times 10^{29}\ \text{kg}\;}\qquad \boxed{\;r_X = 7{,}04\times 10^{6}\ \text{m}\;}\qquad \boxed{\;g = 10{,}9\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}\;}
Ver la solución oficialla corrección de la PAU, con los puntos de cada paso

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.
a)

0,1 p. F=maF = ma

0,4 p. GMmr2=mω2r⇒GM=4π2T2 r3\dfrac{GMm}{r^2} = m\omega^2 r \Rightarrow GM = \dfrac{4\pi^2}{T^2}\,r^3

0,5 p.M=4π2(7,42×109)36,67×10−11(9,9×86400)2=3,30×1029 kgM = \frac{4\pi^2\left(7{,}42\times 10^{9}\right)^3}{6{,}67\times 10^{-11}\left(9{,}9\times 86400\right)^2} = 3{,}30\times 10^{29}\ \text{kg}b)

0,1 p.ρTierra=ρX⇒mTierra43πrTierra3=mX43πrX3⇒mTierrarTierra3=mXrX3Como: mX=1,35 mTierra}\left.\begin{aligned} &\rho_{Tierra} = \rho_X \Rightarrow \frac{m_{Tierra}}{\frac{4}{3}\pi r_{Tierra}^3} = \frac{m_X}{\frac{4}{3}\pi r_X^3} \Rightarrow \frac{m_{Tierra}}{r_{Tierra}^3} = \frac{m_X}{r_X^3}\\ &\text{Como: } m_X = 1{,}35\,m_{Tierra} \end{aligned}\right\}0,1 p. mxmTierra=1,35=rX3rTierra3\dfrac{m_x}{m_{Tierra}} = 1{,}35 = \dfrac{r_X^3}{r_{Tierra}^3}

0,2 p. rX=rTierra1,353=7,04×106 mr_X = r_{Tierra}\sqrt[3]{1{,}35} = 7{,}04\times 10^{6}\ \text{m}

0,2 p. g=GmxrX2g = \dfrac{Gm_x}{r_X^2}

0,2 p. g=6,67×10−11×1,35×5,98×1024(7,04×106)2=10,9 m⋅s−2g = \dfrac{6{,}67\times 10^{-11}\times 1{,}35\times 5{,}98\times 10^{24}}{\left(7{,}04\times 10^{6}\right)^2} = 10{,}9\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2} 0,2 p.

Corrección oficial en PDF (original en catalán)

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