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Campo y potencial eléctrico

Cataluña · 2018 · Septiembre · Opción B

Enunciado

Un modelo simplificado de distribución de cargas eléctricas en el interior de una nube puede aproximarse a dos cargas puntuales situadas a diferentes alturas. La figura muestra esta distribución aproximada, que consta de una carga de

+40\ \text{C}

situada a

10\ \text{km}

de altura y una carga de

-30\ \text{C}

situada a

4\ \text{km}

de altura.

Nube sobre el suelo con una carga positiva a 10 km de altura y una carga negativa justo debajo, a 4 km de altura; el punto P está a la misma altura que la carga positiva, 6 km a su derecha

a) (1 punto) Calcule el vector campo eléctrico que crea la nube en el punto P que se indica en la figura.

b) (1 punto) Calcule la energía potencial electrostática almacenada en la nube.

Dato:

k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 9{,}0\times 10^{9}\ \text{N m}^2\,\text{C}^{-2}

.

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Resultado

\boxed{\;\vec E_P = \left(7{,}35\times 10^{3}\,\vec i - 2{,}65\times 10^{3}\,\vec j\right)\ \text{N C}^{-1},\quad E = 7{,}81\times 10^{3}\ \text{N C}^{-1}\;}\qquad \boxed{\;U = -1{,}8\times 10^{9}\ \text{J}\;}

Ver la solución oficialla corrección de la PAU, con los puntos de cada paso

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

En P, el campo de la carga positiva apunta horizontalmente hacia la derecha, alejándose de ella, y el campo E₂ de la carga negativa apunta hacia ella, a lo largo de la diagonal hacia abajo y a la izquierda

0,2 p.

\vec E_1 = k\dfrac{q_1}{d_1^2}\,\vec i = 9{,}0\times 10^{9}\dfrac{40}{\left(6\times 10^{3}\right)^2}\,\vec i = 1{,}0\times 10^{4}\,\vec i\ \text{N C}^{-1}

0,2 p.

\left.\begin{aligned} \vec E_2 &= E_{2x}\,\vec i + E_{2y}\,\vec j\\ E_{2x} &= -E_2\cos 45^\circ\\ E_{2y} &= -E_2\sin 45^\circ\\ d_2 &= \sqrt{6^2 + 6^2} = 6\sqrt 2\ \text{km} \end{aligned}\right\}

0,2 p.

\vec E_2 = -k\dfrac{q_2}{d_2^2}\dfrac{\sqrt 2}{2}\left(\vec i + \vec j\right) = -2{,}65\times 10^{3}\left(\vec i + \vec j\right)\ \text{N C}^{-1}

0,4 p.

\vec E = \vec E_1 + \vec E_2 = \left(1{,}0\times 10^{4} - 2{,}65\times 10^{3}\right)\vec i - 2{,}65\times 10^{3}\,\vec j = \left(7{,}35\times 10^{3}\,\vec i - 2{,}65\times 10^{3}\,\vec j\right)\ \text{N C}^{-1}

o módulo y dirección/sentido

E = \sqrt{E_x^2 + E_y^2} = 7{,}81\times 10^{3}\ \text{N C}^{-1}

;

\beta = \operatorname{arctg}\dfrac{E_y}{E_x} = 19{,}8^\circ

b)

0,2 p.

U = k\dfrac{q_1 q_2}{d}

0,8 p.

U = 9{,}0\times 10^{9}\,\dfrac{40\times(-30)}{6\times 10^{3}} = -1{,}8\times 10^{9}\ \text{J}

Corrección oficial en PDF (original en catalán)

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