Dualidad onda-corpúsculo e incertidumbre

a) La dualidad onda-corpúsculo es el hecho de que tanto la radiación como la materia presentan, según el experimento, comportamiento ondulatorio o corpuscular. La luz se comporta como onda en la interferencia y la difracción, y como partícula (fotones de energía $hf$) en el efecto fotoeléctrico. De Broglie (1924) propuso que, recíprocamente, toda partícula material con cantidad de movimiento $p = mv$ lleva asociada una onda de longitud$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$$Se confirmó con la difracción de electrones en cristales (Davisson y Germer). Los efectos ondulatorios solo se aprecian cuando $\lambda$ es comparable a las dimensiones del sistema, por lo que son relevantes para partículas microscópicas.

Con la misma energía cinética, $E_c = \dfrac{p^2}{2m}$, así que $p = \sqrt{2mE_c}$ y$$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE_c}}\ \propto\ \frac{1}{\sqrt m}$$Como $m_e \ll m_n$ (el neutrón es unas $1840$ veces más pesado), el electrón tiene mayor longitud de onda asociada: $\lambda_e/\lambda_n = \sqrt{m_n/m_e} \approx 43$.

b) Al acelerarse desde el reposo, el trabajo del campo eléctrico se convierte en energía cinética: $E_c = W = |q|\,\Delta V$. Protón y electrón tienen carga de igual valor absoluto $e$ (el electrón se acelera en sentido contrario, hacia potenciales mayores), así que con la misma diferencia de potencial ganan la misma energía cinética:$$E_c = e\,\Delta V = 1{,}6\cdot10^{-19}\cdot5000 = 8\cdot10^{-16}\,\text{J}$$Protón:$$v_p = \sqrt{\frac{2E_c}{m_p}} = \sqrt{\frac{2\cdot8\cdot10^{-16}}{1{,}7\cdot10^{-27}}} = 9{,}70\cdot10^{5}\ \text{m s}^{-1}$$$$\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2m_p E_c}} = \frac{6{,}63\cdot10^{-34}}{\sqrt{2\cdot1{,}7\cdot10^{-27}\cdot8\cdot10^{-16}}} = 4{,}0\cdot10^{-13}\ \text{m}$$Electrón: misma $E_c = 8\cdot10^{-16}\,\text{J}$ ($5000\,\text{eV}$), pero mucha menos masa, luego mayor longitud de onda:$$\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2m_e E_c}} = \frac{6{,}63\cdot10^{-34}}{\sqrt{2\cdot9{,}1\cdot10^{-31}\cdot8\cdot10^{-16}}} = 1{,}7\cdot10^{-11}\ \text{m}$$Su velocidad sería $v_e = \sqrt{2E_c/m_e} = 4{,}2\cdot10^{7}\,\text{m s}^{-1}$, un $14\,\%$ de $c$, por lo que el cálculo no relativista es todavía una aproximación aceptable. La longitud de onda del electrón es unas $43$ veces mayor que la del protón, como predice $\lambda\propto1/\sqrt m$ a igual energía cinética.