FísicaDifícilProblema · 2,5 pts

Núcleo atómico y reacciones nucleares

Andalucía · 2018 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

a) ¿Qué se entiende por estabilidad nuclear? Explique cualitativamente la dependencia de la estabilidad nuclear con el número másico.

b) En algunas estrellas predominan las fusiones del denominado ciclo del carbono, cuyo último paso consiste en la fusión de un protón con nitrógeno

^{15}_{7}\text{N}

para dar

^{12}_{6}\text{C}

y un núcleo de helio. Escriba la reacción nuclear y determine la energía necesaria para formar

1\,\text{kg}

^{12}_{6}\text{C}

.

Datos:

c = 3\cdot10^{8}\,\text{m s}^{-1}

;

u = 1{,}67\cdot10^{-27}\,\text{kg}

;

m(^{1}_{1}\text{H}) = 1{,}007825\,\text{u}

;

m(^{15}_{7}\text{N}) = 15{,}000109\,\text{u}

;

m(^{12}_{6}\text{C}) = 12{,}000000\,\text{u}

;

m(^{4}_{2}\text{He}) = 4{,}002603\,\text{u}

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Resultado

\boxed{\;E_1 = 8{,}01\cdot10^{-13}\ \text{J/reacción}\quad;\quad E_{1\,\text{kg}} \approx 4{,}0\cdot10^{13}\ \text{J (liberada)}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La estabilidad se mide por la energía de enlace por nucleón: máxima hacia el hierro (

A\approx56

) y menor en núcleos muy ligeros o muy pesados. En b) escribimos la reacción conservando

A

Z

, calculamos el defecto de masa y

E = \Delta m\,c^2

por reacción, y multiplicamos por el número de núcleos de C en

1\,\text{kg}

Desarrollo

a) La estabilidad nuclear es la tendencia de un núcleo a mantenerse sin desintegrarse ni transformarse. Se mide con la energía de enlace por nucleón,

E_b/A

: la energía de enlace

E_b = \Delta m\,c^2

(con

\Delta m

el defecto de masa, la diferencia entre la masa de los nucleones por separado y la del núcleo) es la energía que habría que aportar para separar todos sus nucleones, y al dividirla entre

A

se obtiene la energía media que "cuesta" arrancar cada nucleón. Cuanto mayor es

E_b/A

, más estable es el núcleo.

Dependencia con el número másico (curva de

E_b/A

frente a

A

En los núcleos ligeros, $E_b/A$ crece rápidamente con $A$ (con picos en núcleos especialmente estables como $^{4}\text{He}$ , $^{12}\text{C}$ y $^{16}\text{O}$ ), porque cada nucleón nuevo tiene más vecinos con los que interaccionar mediante la fuerza nuclear fuerte.
Alcanza un máximo, de unos $8{,}8\,\text{MeV}$ por nucleón, en torno a $A \approx 56$ (hierro, níquel): son los núcleos más estables.
Para $A$ mayores disminuye lentamente (unos $7{,}6\,\text{MeV}$ en el uranio), porque la fuerza fuerte es de corto alcance y solo actúa entre vecinos, mientras que la repulsión eléctrica entre protones, de largo alcance, crece con el número de protones. Los núcleos muy pesados necesitan además un exceso de neutrones y a partir de $Z = 83$ todos son inestables (radiactivos).

Consecuencia: los núcleos ligeros ganan estabilidad (y liberan energía) al fusionarse y los pesados al fisionarse, en ambos casos acercándose a la zona del hierro.

b) Reacción (se conservan

A

1+15 = 12+4

, y

Z

1+7 = 6+2

^{1}_{1}\text{H} + \ ^{15}_{7}\text{N}\rightarrow\ ^{12}_{6}\text{C} + \ ^{4}_{2}\text{He}

Defecto de masa:

\Delta m = (1{,}007825 + 15{,}000109) - (12{,}000000 + 4{,}002603) = 0{,}005331\ \text{u}

Como

\Delta m > 0

, los productos tienen menos masa que los reactivos y la reacción libera energía. Energía por reacción:

E_1 = \Delta m\,c^2 = 0{,}005331\cdot1{,}67\cdot10^{-27}\cdot(3\cdot10^{8})^2 = 8{,}01\cdot10^{-13}\ \text{J}\ \ (\approx 5{,}0\ \text{MeV})

Cada reacción forma un núcleo de

^{12}\text{C}

. Número de núcleos de carbono en

1\,\text{kg}

(

m_{\text{átomo}} = 12\cdot1{,}67\cdot10^{-27} = 2{,}004\cdot10^{-26}\,\text{kg}

N = \frac{1}{2{,}004\cdot10^{-26}} = 4{,}99\cdot10^{25}

Energía asociada a la formación de

1\,\text{kg}

de carbono:

E = N\,E_1 = 4{,}99\cdot10^{25}\cdot8{,}01\cdot10^{-13} = 4{,}0\cdot10^{13}\ \text{J}

No hay que aportar energía: al formarse

1\,\text{kg}

^{12}\text{C}

por esta reacción se desprenden

4{,}0\cdot10^{13}\,\text{J}

(la "energía necesaria" del enunciado es, en realidad, energía liberada).

Consejo

Como $\Delta m>0$ , la fusión libera energía (por eso alimenta las estrellas); el enunciado dice "necesaria para formar" pero el balance es de energía desprendida. Calcula el defecto de masa con todos los decimales antes de multiplicar por el número de núcleos.