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Problema resuelto de Física: Efecto fotoeléctrico y cuantizaciónSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2017 · Julio · Opción B

Enunciado

En un experimento de efecto fotoeléctrico, la luz puede incidir sobre un cátodo de Cesio (Cs) o de Zinc (Zn). Al representar la energía cinética máxima de los electrones frente a la frecuencia

f

de la luz, se obtienen las rectas mostradas en la figura. Cuando la longitud de onda de la luz incidente es

\lambda = 500\,\text{nm}

, sólo se detectan electrones para el Cs, que tienen una energía cinética máxima

E_C^{\text{máx}} = 6{,}63\cdot10^{-20}\,\text{J}

. Cuando

\lambda = 250\,\text{nm}

se detectan electrones para ambos cátodos, siendo

E_C^{\text{máx}} = 13{,}26\cdot10^{-20}\,\text{J}

para el de Zn.

Gráfica de la energía cinética máxima de los electrones frente a la frecuencia f, en unidades de 10¹⁴ Hz: dos rectas paralelas, la (1) continua y la (2) discontinua, que cortan el eje horizontal en los puntos a y b, con a a la izquierda de b.

a) Sin realizar ningún cálculo numérico, razona a qué elemento corresponden las rectas (1) y (2) y explica el significado de los puntos de corte de estas rectas con el eje horizontal (puntos a y b). (1 punto)

b) Calcula el trabajo de extracción de electrones del Cs y Zn y los valores de los puntos a y b. (1 punto)

Datos: constante de Planck,

h = 6{,}63\cdot10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s}

; velocidad de la luz en el vacío,

c = 3\cdot10^{8}\,\text{m/s}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

a) Recta (1): Cs; recta (2): Zn (el Cs emite con 500 nm y el Zn no, luego su umbral es menor). Las rectas son paralelas (pendiente

h

) y a y b son las frecuencias umbral, donde

E_C^{\text{máx}} = 0

.

b)

W_{0,\text{Cs}} = 3{,}315\cdot10^{-19}\,\text{J}

W_{0,\text{Zn}} = 6{,}63\cdot10^{-19}\,\text{J}

;

a = 5\cdot10^{14}\,\text{Hz}

b = 10\cdot10^{14}\,\text{Hz} = 10^{15}\,\text{Hz}

(a = 5 y b = 10 en el eje).

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La ecuación de Einstein,

E_C^{\text{máx}} = hf - W_0

, es una recta de pendiente

h

(la misma para todos los metales: por eso las rectas son paralelas) que corta el eje de frecuencias en la frecuencia umbral

f_0 = W_0/h

. Con 500 nm solo emite el Cs: su umbral es más bajo, así que es la recta que corta antes. En b), con cada longitud de onda calculamos la energía del fotón, le restamos la energía cinética medida y obtenemos el trabajo de extracción; dividiendo entre

h

, la frecuencia umbral.

Desarrollo

a) Ecuación de Einstein. La energía de un fotón,

hf

, se invierte en arrancar el electrón (trabajo de extracción

W_0

) y el resto queda como energía cinética:

E_C^{\text{máx}} = h\,f - W_0

Frente a

f

es una recta de pendiente

h

, igual para los dos metales; solo cambia el punto de corte, que depende de

W_0

.

Puntos de corte. Donde la recta corta el eje horizontal,

E_C^{\text{máx}} = 0

: es la frecuencia umbral

f_0 = W_0/h

, la mínima que debe tener la luz para arrancar electrones. Por debajo de ella no hay emisión, por intensa que sea la luz. Los puntos a y b son las frecuencias umbral de los dos metales.

Qué recta es cada metal. Con

\lambda = 500\,\text{nm}

(una frecuencia determinada) se arrancan electrones del Cs pero no del Zn: esa frecuencia supera el umbral del Cs y no el del Zn. Por tanto el Cs tiene la frecuencia umbral (y el trabajo de extracción) más baja: le corresponde la recta (1), que corta en a, y al Zn la recta (2), que corta en b, más a la derecha.

b) Energía de los fotones.

E = h f = h c/\lambda

E_{500} = \frac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^{8}}{500\cdot10^{-9}} = 3{,}978\cdot10^{-19}\,\text{J}\qquad E_{250} = \frac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^{8}}{250\cdot10^{-9}} = 7{,}956\cdot10^{-19}\,\text{J}

Trabajo de extracción.

W_0 = h c/\lambda - E_C^{\text{máx}}

W_{0,\text{Cs}} = 3{,}978\cdot10^{-19} - 0{,}663\cdot10^{-19} = 3{,}315\cdot10^{-19}\,\text{J}\;(\approx2{,}07\,\text{eV})

W_{0,\text{Zn}} = 7{,}956\cdot10^{-19} - 1{,}326\cdot10^{-19} = 6{,}63\cdot10^{-19}\,\text{J}\;(\approx4{,}14\,\text{eV})

Frecuencias umbral (puntos a y b).

f_0 = W_0/h

f_{0,\text{Cs}} = \frac{3{,}315\cdot10^{-19}}{6{,}63\cdot10^{-34}} = 5\cdot10^{14}\,\text{Hz}\qquad f_{0,\text{Zn}} = \frac{6{,}63\cdot10^{-19}}{6{,}63\cdot10^{-34}} = 1\cdot10^{15}\,\text{Hz}

Como el eje está en unidades de

10^{14}\,\text{Hz}

: a = 5 y b = 10. Se confirma que el Cs tiene el umbral más bajo, como se razonó en a).

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En a) el enunciado prohíbe los números: razona con la ecuación de Einstein (pendiente común $h$ , corte en $f_0 = W_0/h$ ) y con el dato de que a 500 nm solo emite el Cs.

Al dar a y b, fíjate en la escala del eje: está en $10^{14}\,\text{Hz}$ , así que el corrector espera 5 y 10 (o las frecuencias completas, con sus unidades).