Problema resuelto de Física: Ondas mecánicas: armónicas y estacionariasSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2017 · Julio · Opción B

a) Frecuencia. Es la inversa del periodo:$$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0{,}1} = 10\,\text{Hz}\qquad \omega = 2\pi f = 20\pi\,\text{rad/s}$$Longitud de onda. En un periodo la onda avanza una longitud de onda:$$\lambda = v\,T = 1\cdot0{,}1 = 0{,}1\,\text{m}\qquad k = \frac{2\pi}{\lambda} = 20\pi\,\text{rad/m}$$El signo $+$ entre $\omega t$ y $kx$ de la expresión del enunciado corresponde, en efecto, a una onda que avanza en el sentido negativo del eje X.

Velocidad de vibración. Derivando respecto del tiempo:$$v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = A\,\omega\,\cos(\omega t + kx + \phi)$$Fase inicial. En $x = 0$ y $t = 0$:$$v_y(0,0) = A\,\omega\cos\phi = \frac{1}{\pi}\cdot20\pi\cdot\cos\phi = 20\cos\phi = 20\,\text{m/s}\;\Rightarrow\;\cos\phi = 1\;\Rightarrow\;\phi = 0\,\text{rad}$$La velocidad máxima de vibración es $A\omega = 20\,\text{m/s}$, así que en ese instante el punto $x = 0$ pasa por el equilibrio subiendo a la máxima velocidad.

b) Función de onda. Con los valores de a):$$y(x,t) = \frac{1}{\pi}\,\text{sen}(20\pi\,t + 20\pi\,x)\quad(\text{SI})$$Valor en $x = 0{,}1\,\text{m}$, $t = 0{,}2\,\text{s}$. La fase vale$$20\pi\cdot0{,}2 + 20\pi\cdot0{,}1 = 4\pi + 2\pi = 6\pi\,\text{rad}$$$$y(0{,}1;\,0{,}2) = \frac{1}{\pi}\,\text{sen}(6\pi) = 0\,\text{m}$$Tiene sentido: $x = 0{,}1\,\text{m}$ es justo una longitud de onda y $t = 0{,}2\,\text{s}$ son dos periodos, así que ese punto está en el mismo estado que $x = 0$ en $t = 0$: en el equilibrio.