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Problema resuelto de Física: Dualidad onda-corpúsculo e incertidumbreSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2017 · Julio · Opción A

Enunciado

Determina la velocidad a la que debe acelerarse un protón para que su longitud de onda asociada de De Broglie sea de

0{,}05\,\text{nm}

. Calcula también su energía cinética (en eV).

Datos: constante de Planck,

h = 6{,}63\cdot10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s}

; masa del protón,

m_p = 1{,}7\cdot10^{-27}\,\text{kg}

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Resultado

v = h/(m_p\lambda) = 7{,}8\cdot10^{3}\,\text{m/s}

E_c = \tfrac12 m_p v^2 = 5{,}17\cdot10^{-20}\,\text{J} \approx 0{,}32\,\text{eV}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Según De Broglie, toda partícula con cantidad de movimiento

p

lleva asociada una onda de longitud

\lambda = h/p

. Como

p = m v

, de la longitud de onda despejamos la velocidad. Con ella calculamos la energía cinética clásica (la velocidad sale muy por debajo de la de la luz) y la pasamos a electronvoltios dividiendo por la carga del electrón.

Desarrollo

Longitud de onda de De Broglie.

\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m_p\,v}\quad\Longrightarrow\quad v = \frac{h}{m_p\,\lambda}

Velocidad. Con

\lambda = 0{,}05\,\text{nm} = 5\cdot10^{-11}\,\text{m}

v = \frac{6{,}63\cdot10^{-34}}{1{,}7\cdot10^{-27}\cdot5\cdot10^{-11}} = 7{,}8\cdot10^{3}\,\text{m/s}

Es mucho menor que

c

, así que la mecánica clásica basta.

Energía cinética.

E_c = \frac{1}{2}\,m_p\,v^2 = \frac{1}{2}\cdot1{,}7\cdot10^{-27}\cdot(7{,}8\cdot10^{3})^2 = 5{,}17\cdot10^{-20}\,\text{J}

En electronvoltios. Como

1\,\text{eV} = 1{,}6\cdot10^{-19}\,\text{J}

E_c = \frac{5{,}17\cdot10^{-20}}{1{,}6\cdot10^{-19}} = 0{,}32\,\text{eV}

También se puede llegar sin pasar por la velocidad:

E_c = \dfrac{p^2}{2m_p} = \dfrac{h^2}{2m_p\lambda^2}

, que da lo mismo.

Consejo

Pasa los nanómetros a metros antes de sustituir ( $1\,\text{nm} = 10^{-9}\,\text{m}$ ): es donde se pierden más puntos en esta cuestión.

El enunciado no da la carga del electrón, pero sí pide la energía en eV: usa $1\,\text{eV} = 1{,}6\cdot10^{-19}\,\text{J}$ y dilo por escrito.