FísicaMedioCuestión · 1,5 pts

Satélites, órbitas y leyes de KeplerSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2017 · Julio · Opción A

Comunitat Valenciana · 2017 · Julio · Opción A
Enunciado
Deduce la expresión de la velocidad de un planeta en órbita circular alrededor del Sol, en función de la masa del Sol y del radio de la órbita. Suponiendo que Marte sigue una órbita circular, con un radio de 2,3⋅108 km2{,}3\cdot10^{8}\,\text{km}, a una velocidad v=8,7⋅104 km/hv = 8{,}7\cdot10^{4}\,\text{km/h}, calcula de forma razonada la masa del Sol.

Dato: constante de gravitación universal, G=6,67⋅10−11 N m2/kg2G = 6{,}67\cdot10^{-11}\,\text{N m}^2/\text{kg}^2
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Resultado
v=GMS/rv = \sqrt{G M_S/r}, independiente de la masa del planeta. Con r=2,3⋅1011 mr = 2{,}3\cdot10^{11}\,\text{m} y v=2,42⋅104 m/sv = 2{,}42\cdot10^{4}\,\text{m/s}: MS=v2r/G=2,0⋅1030 kgM_S = v^2 r/G = 2{,}0\cdot10^{30}\,\text{kg}.
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

En una órbita circular, la única fuerza sobre el planeta es la atracción gravitatoria del Sol, y es ella la que le obliga a girar: hace de fuerza centrípeta. Igualando las dos expresiones sale la velocidad orbital, que depende solo de la masa del Sol y del radio. Después le damos la vuelta a la fórmula: conociendo la velocidad y el radio de Marte, despejamos la masa del Sol. Lo único delicado es pasar los kilómetros y los km/h al SI antes de sustituir.
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Desarrollo

Fuerza gravitatoria como fuerza centrípeta. Sobre Marte (masa mm) actúa la fuerza del Sol (masa MSM_S), dirigida hacia el Sol. En una órbita circular de radio rr esa fuerza es la centrípeta:G MS mr2=m v2rG\,\frac{M_S\,m}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r}Velocidad orbital. La masa del planeta se simplifica y despejamos vv:v=G MSrv = \sqrt{\frac{G\,M_S}{r}}La velocidad no depende de la masa del planeta, solo de la del Sol y del radio de la órbita: cuanto más lejos, más despacio.

Unidades al SI.r=2,3⋅108 km=2,3⋅1011 mv=8,7⋅104 km/h3,6=2,42⋅104 m/sr = 2{,}3\cdot10^{8}\,\text{km} = 2{,}3\cdot10^{11}\,\text{m}\qquad v = \frac{8{,}7\cdot10^{4}\,\text{km/h}}{3{,}6} = 2{,}42\cdot10^{4}\,\text{m/s}Masa del Sol. Elevando al cuadrado la velocidad orbital y despejando:MS=v2 rG=(2,42⋅104)2⋅2,3⋅10116,67⋅10−11=2,0⋅1030 kgM_S = \frac{v^2\,r}{G} = \frac{(2{,}42\cdot10^{4})^2\cdot2{,}3\cdot10^{11}}{6{,}67\cdot10^{-11}} = 2{,}0\cdot10^{30}\,\text{kg}Es el valor conocido de la masa del Sol, lo que confirma que la cuenta va bien.
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Consejo

La deducción vale 0,8 de los 1,5 puntos: no escribas solo la fórmula, di que la fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta y escribe la igualdad antes de despejar.

El error típico es sustituir los km/h tal cual: divide entre 3,6 y pasa los km a metros.
Paso 1 de 3
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