Problema resuelto de Física: Campo y potencial eléctricoSelectividad (PAU) · País Vasco 2017 · Junio · Opción B

Esquema. Sobre el eje $X$: $q_1 = +3\ \mu\text{C}$ en $x = -5\ \text{m}$, el origen $A$ en $x = 0$, $q_2 = -2\ \mu\text{C}$ en $x = 5\ \text{m}$ y el punto $B$ en $x = 10\ \text{m}$. Distancias: de $q_1$ a $A$, 5 m; de $q_2$ a $A$, 5 m; de $q_1$ a $B$, 15 m; de $q_2$ a $B$, 5 m.

a) Campo de $q_1$ en el origen. $q_1$ es positiva, así que su campo en $A$ se aleja de ella: apunta hacia $+x$.$$E_1 = K\frac{|q_1|}{r_1^2} = 9\cdot 10^{9}\cdot\frac{3\cdot 10^{-6}}{5^2} = 1080\ \text{N/C}\qquad \vec E_1 = 1080\,\vec i\ \text{N/C}$$Campo de $q_2$ en el origen. $q_2$ es negativa, así que su campo en $A$ apunta hacia ella, que está a la derecha: también hacia $+x$.$$E_2 = K\frac{|q_2|}{r_2^2} = 9\cdot 10^{9}\cdot\frac{2\cdot 10^{-6}}{5^2} = 720\ \text{N/C}\qquad \vec E_2 = 720\,\vec i\ \text{N/C}$$Campo total. Por el principio de superposición:$$\vec E = \vec E_1 + \vec E_2 = (1080 + 720)\,\vec i = 1800\,\vec i\ \text{N/C}$$Módulo $1800\ \text{N/C}$, dirección la del eje $X$, sentido positivo (hacia $q_2$).

b) Potencial en el origen ($A$). El potencial de una carga puntual es $V = Kq/r$, con el signo de la carga:$$V_A = K\frac{q_1}{r_{1A}} + K\frac{q_2}{r_{2A}} = 9\cdot 10^{9}\left(\frac{3\cdot 10^{-6}}{5} + \frac{-2\cdot 10^{-6}}{5}\right) = 1800\ \text{V}$$Potencial en $(10, 0)$ ($B$).$$V_B = K\frac{q_1}{r_{1B}} + K\frac{q_2}{r_{2B}} = 9\cdot 10^{9}\left(\frac{3\cdot 10^{-6}}{15} + \frac{-2\cdot 10^{-6}}{5}\right) = 1800 - 3600 = -1800\ \text{V}$$Trabajo del campo. El trabajo que realiza el campo eléctrico al llevar $q_3$ de $A$ a $B$ es:$$W_{A\to B}^{\text{campo}} = q_3\,(V_A - V_B) = 2\cdot 10^{-6}\cdot\big(1800 - (-1800)\big) = 7{,}2\cdot 10^{-3}\ \text{J}$$Trabajo de la fuerza exterior. Es positivo: el traslado ocurre espontáneamente, porque una carga positiva va de forma natural hacia potenciales menores. No hace falta aportar trabajo; si se lleva la carga lentamente (sin que gane energía cinética), una fuerza exterior tendría que frenarla y haría un trabajo$$W^{\text{ext}} = -W^{\text{campo}} = q_3\,(V_B - V_A) = -7{,}2\cdot 10^{-3}\ \text{J}$$c) Velocidad al llegar. Si $q_3$ parte del reposo en el origen y solo actúa la fuerza eléctrica, el trabajo del campo se convierte en energía cinética (teorema de las fuerzas vivas, o conservación de la energía: $\Delta E_c = -\Delta E_p = q_3(V_A - V_B)$):$$W^{\text{campo}} = \frac{1}{2}m v^2 - 0\quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2\,W^{\text{campo}}}{m}}$$La masa en el SI: $m = 2\ \mu\text{g} = 2\cdot 10^{-6}\ \text{g} = 2\cdot 10^{-9}\ \text{kg}$.$$v = \sqrt{\frac{2\cdot 7{,}2\cdot 10^{-3}}{2\cdot 10^{-9}}} = \sqrt{7{,}2\cdot 10^{6}} = 2{,}68\cdot 10^{3}\ \text{m/s}$$La carga llega al punto $(10, 0)$ moviéndose a unos $2683\ \text{m/s}$ en el sentido positivo del eje $X$. (En rigor, soltada en reposo sobre el eje, $q_3$ se dirigiría directamente hacia $q_2$, que la atrae y está en su camino. El enunciado da por hecho que llega a $(10, 0)$; como la fuerza eléctrica es conservativa, la velocidad final solo depende de los potenciales de los extremos, que es lo que se pide.)