Problema resuelto de Física: Campo y potencial gravitatorioSelectividad (PAU) · País Vasco 2017 · Junio · Opción B

El campo de una masa puntual. Una masa $M$ puntual, o una esfera homogénea vista desde fuera, crea a una distancia $r$ de su centro un campo gravitatorio$$\vec g = -\frac{G M}{r^2}\,\vec u_r$$dirigido siempre hacia la masa ($\vec u_r$ es el vector unitario radial hacia fuera), y un potencial gravitatorio$$V = -\frac{G M}{r}$$que es negativo, vale cero en el infinito y solo depende de la distancia $r$.

Líneas de fuerza: definición. Son las líneas tangentes en cada punto al vector campo $\vec g$, orientadas en su sentido. Indican la trayectoria inicial que seguiría una masa de prueba soltada en reposo.

Líneas de fuerza de una masa puntual. Como $\vec g$ es radial y apunta hacia $M$, las líneas de fuerza son semirrectas radiales que llegan a la masa desde el infinito, con el sentido hacia ella (la masa es un «sumidero» de líneas: en gravitación no hay fuentes, porque no hay masas negativas). Propiedades:

• La densidad de líneas (número de líneas por unidad de superficie perpendicular) es proporcional a la intensidad del campo: cerca de la masa están más juntas, porque $g$ es mayor, y se separan al alejarse, como $1/r^2$.
• No se cortan nunca: en cada punto el campo tiene un único valor y una única dirección.
• El número de líneas que se dibujan se toma proporcional a la masa $M$.

Superficies equipotenciales: definición. Son el lugar geométrico de los puntos del espacio que tienen el mismo potencial gravitatorio, $V = \text{cte}$.

Superficies equipotenciales de una masa puntual. Como $V = -GM/r$ solo depende de $r$, la condición $V = \text{cte}$ equivale a $r = \text{cte}$: son esferas concéntricas centradas en la masa (en un dibujo plano, circunferencias concéntricas). Al acercarse a la masa el potencial es más negativo. Si se dibujan con saltos de potencial iguales ($\Delta V$ constante), quedan más juntas cerca de la masa, donde el campo es más intenso.

Relación entre ambas. Las líneas de fuerza son perpendiculares en cada punto a las superficies equipotenciales (aquí, los radios son perpendiculares a las esferas), y apuntan hacia potenciales decrecientes. La razón es que el trabajo del campo al desplazar una masa $m$ es$$W_{A\to B} = -m\,(V_B - V_A)$$Sobre una misma superficie equipotencial $V_A = V_B$ y el trabajo es nulo, así que el desplazamiento sobre ella es perpendicular a la fuerza, es decir, a $\vec g$. En forma diferencial, $\vec g = -\nabla V$: el campo apunta en el sentido en que el potencial disminuye más deprisa.

Consecuencias. Mover una masa sobre una superficie equipotencial no cuesta trabajo (por ejemplo, un satélite en órbita circular se mueve siempre sobre la misma equipotencial). Al acercarla a $M$ a lo largo de una línea de fuerza el campo hace un trabajo positivo y la energía potencial disminuye.

Esquema. Se dibuja la masa $M$ como un círculo en el centro. A su alrededor, varias circunferencias concéntricas (las equipotenciales), cada vez más separadas al alejarse. Atravesándolas, ocho o diez flechas radiales que vienen desde fuera y apuntan hacia el centro (las líneas de fuerza), cortando todas las circunferencias en ángulo recto y más juntas cerca de la masa.