Problema resuelto de Física: Ondas mecánicas: armónicas y estacionariasSelectividad (PAU) · País Vasco 2017 · Junio · Opción A

Lectura de la ecuación. Comparando con la forma general:$$A = 0{,}01\ \text{m}\qquad \omega = 10\pi\ \text{rad/s}\qquad k = 2\pi\ \text{rad/m}\qquad \varphi_0 = \pi\ \text{rad}$$Como $\omega t$ y $kx$ llevan el mismo signo, la onda se propaga en el sentido negativo del eje $X$.

a) Frecuencia. De $\omega = 2\pi f$:$$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{10\pi}{2\pi} = 5\ \text{Hz}\qquad (T = 1/f = 0{,}2\ \text{s})$$Longitud de onda. De $k = 2\pi/\lambda$:$$\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{2\pi} = 1\ \text{m}$$Velocidad de propagación.$$v = \lambda f = \frac{\omega}{k} = 1\cdot 5 = 5\ \text{m/s}$$dirigida hacia las $x$ negativas.

b) Diferencia de fase. En un mismo instante $t$, la fase de dos puntos $x_1$ y $x_2$ es:$$\varphi_1 = 10\pi t + 2\pi x_1 + \pi\qquad \varphi_2 = 10\pi t + 2\pi x_2 + \pi$$Restando, el tiempo y la fase inicial se cancelan:$$\Delta\varphi = 2\pi\,(x_2 - x_1) = k\,\Delta x = 2\pi\cdot 0{,}2 = 0{,}4\pi\ \text{rad} \approx 1{,}26\ \text{rad}$$Comprobación: $0{,}2\ \text{m}$ es la quinta parte de $\lambda$, y una longitud de onda completa corresponde a $2\pi$: $2\pi/5 = 0{,}4\pi$. Los dos puntos no están en fase ni en oposición.

c) Velocidad de vibración. Derivando $y$ respecto de $t$ con $x$ fija:$$v_y = \frac{\partial y}{\partial t} = 0{,}01\cdot 10\pi\,\cos(10\pi t + 2\pi x + \pi) = 0{,}1\pi\,\cos(10\pi t + 2\pi x + \pi)\ \text{m/s}$$Su valor máximo se da cuando el coseno vale $\pm 1$:$$v_{y,\text{máx}} = A\omega = 0{,}1\pi \approx 0{,}314\ \text{m/s}$$Aceleración de vibración. Derivando otra vez:$$a_y = \frac{\partial v_y}{\partial t} = -0{,}1\pi\cdot 10\pi\,\text{sen}(10\pi t + 2\pi x + \pi) = -\pi^2\,\text{sen}(10\pi t + 2\pi x + \pi)\ \text{m/s}^2$$$$a_{y,\text{máx}} = A\omega^2 = \pi^2 \approx 9{,}87\ \text{m/s}^2$$La velocidad es máxima al pasar por la posición de equilibrio ($y = 0$) y la aceleración, en los extremos ($y = \pm A$).