Problema resuelto de Física: Campo y potencial gravitatorioSelectividad (PAU) · País Vasco 2017 · Junio · Opción A

a) Conservación de la energía. Sobre el objeto solo actúa la gravedad (la Luna no tiene atmósfera), que es conservativa. Entre la superficie ($r = R_L$, velocidad $v_0$) y el punto más alto ($r = 2R_L$, velocidad nula):$$\frac{1}{2}m v_0^2 - \frac{G M_L m}{R_L} = 0 - \frac{G M_L m}{2R_L}$$La masa del objeto se simplifica:$$\frac{1}{2}v_0^2 = \frac{G M_L}{R_L} - \frac{G M_L}{2R_L} = \frac{G M_L}{2R_L}\quad\Longrightarrow\quad v_0 = \sqrt{\frac{G M_L}{R_L}}$$Cálculo. Primero el producto $G M_L$, que usaremos en todos los apartados:$$G M_L = 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 7{,}35\cdot 10^{22} = 4{,}902\cdot 10^{12}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}$$$$v_0 = \sqrt{\frac{4{,}902\cdot 10^{12}}{1{,}74\cdot 10^{6}}} = \sqrt{2{,}817\cdot 10^{6}} = 1{,}68\cdot 10^{3}\ \text{m/s}$$Es decir, unos $1679\ \text{m/s}$. Fíjate en que es $1/\sqrt{2}$ de la velocidad de escape lunar: tiene sentido, porque para escapar habría que llegar a $r\to\infty$.

b) Gravedad en la superficie. La intensidad del campo gravitatorio de una esfera a distancia $r$ de su centro es $g = GM/r^2$. En la superficie, $r = R_L$:$$g_0 = \frac{G M_L}{R_L^2} = \frac{4{,}902\cdot 10^{12}}{(1{,}74\cdot 10^{6})^2} = 1{,}62\ \text{m/s}^2$$Gravedad en el punto más alto. Allí $r = R_L + h = 2R_L$:$$g = \frac{G M_L}{(2R_L)^2} = \frac{g_0}{4} = \frac{4{,}902\cdot 10^{12}}{(3{,}48\cdot 10^{6})^2} = 0{,}405\ \text{m/s}^2$$Ambas apuntan hacia el centro de la Luna. Al duplicar la distancia al centro, la gravedad se divide entre cuatro.

c) Velocidad orbital. En una órbita circular de radio $r = 2R_L$, la fuerza gravitatoria es la fuerza centrípeta:$$\frac{G M_L m}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{G M_L}{r}} = \sqrt{\frac{4{,}902\cdot 10^{12}}{3{,}48\cdot 10^{6}}} = 1{,}19\cdot 10^{3}\ \text{m/s}$$Periodo. El objeto recorre la circunferencia $2\pi r$ en un periodo $T$:$$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi\cdot 3{,}48\cdot 10^{6}}{1187} = 1{,}84\cdot 10^{4}\ \text{s}$$Equivale a $18\,422/3600 \approx 5{,}12\ \text{h}$. Se obtiene lo mismo con la tercera ley de Kepler, $T = 2\pi\sqrt{r^3/(G M_L)}$.