Problema resuelto de Física: Satélites, órbitas y leyes de KeplerSelectividad (PAU) · País Vasco 2017 · Julio · Opción B

a) Órbita circular. La fuerza gravitatoria es la centrípeta, con $r = R_T + h$:$$\frac{G\,M_T\,m}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad r = \frac{G\,M_T}{v^2}$$Radio de la órbita.$$r = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}}{3073^2} = 4{,}22\cdot 10^{7}\ \text{m}$$Altura.$$h = r - R_T = 4{,}224\cdot 10^{7} - 6{,}37\cdot 10^{6} = 3{,}59\cdot 10^{7}\ \text{m}\ \ (\approx 35\,900\ \text{km})$$b) Periodo. En el movimiento circular uniforme:$$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi\cdot 4{,}224\cdot 10^{7}}{3073} = 8{,}64\cdot 10^{4}\ \text{s} = \frac{8{,}64\cdot 10^{4}}{3600}\ \text{h} \approx 24\ \text{h}$$c) Órbita geoestacionaria. Un satélite geoestacionario gira en el plano del ecuador con el mismo periodo que la rotación de la Tierra (unas 24 h), de modo que desde la superficie se ve siempre en el mismo punto del cielo. El satélite del enunciado cumple las dos condiciones: es geoestacionario, y su órbita tiene $r = 4{,}22\cdot 10^{7}\ \text{m}$. (También se puede sacar el radio a partir de $T = 24\ \text{h}$ con la tercera ley de Kepler, $r = \sqrt[3]{G M_T T^2/4\pi^2}$, y sale lo mismo.)

Gravedad en esa órbita. Es el campo gravitatorio de la Tierra a esa distancia de su centro:$$g = \frac{G\,M_T}{r^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}}{(4{,}224\cdot 10^{7})^2} = 0{,}224\ \text{m/s}^2$$Comprobación. En una órbita circular la gravedad es la aceleración centrípeta: $g = v^2/r = 3073^2/4{,}224\cdot 10^{7} = 0{,}224\ \text{m/s}^2$. Es unas 44 veces menor que en la superficie (9,8 m/s²), porque el satélite está a unas 6,6 veces el radio terrestre del centro de la Tierra y $g$ va con $1/r^2$.