Problema resuelto de Física: Ondas mecánicas: armónicas y estacionariasSelectividad (PAU) · País Vasco 2017 · Julio · Opción B

Datos en el SI. $A = 0{,}04\ \text{m}$, $\lambda = 0{,}02\ \text{m}$, $v = 0{,}25\ \text{m/s}$.

a) Periodo. En un periodo la onda avanza una longitud de onda:$$v = \frac{\lambda}{T}\quad\Longrightarrow\quad T = \frac{\lambda}{v} = \frac{0{,}02}{0{,}25} = 0{,}08\ \text{s}$$Frecuencia angular y número de onda.$$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0{,}08} = 25\pi\ \text{rad/s}\qquad k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{0{,}02} = 100\pi\ \text{rad/m}$$Forma de la ecuación. Para una onda que se propaga en el sentido negativo del eje $x$:$$y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t + kx + \varphi_0)$$Fase inicial. En $x = 0$, $t = 0$: $y = 0{,}04\ \text{m}$, es decir,$$0{,}04 = 0{,}04\,\text{sen}\,\varphi_0\quad\Longrightarrow\quad \text{sen}\,\varphi_0 = 1\quad\Longrightarrow\quad \varphi_0 = \frac{\pi}{2}\ \text{rad}$$Ecuación de la onda.$$y(x,t) = 0{,}04\,\text{sen}\!\left(25\pi\,t + 100\pi\,x + \frac{\pi}{2}\right)\ \ (\text{SI})$$que también puede escribirse $y(x,t) = 0{,}04\cos(25\pi\,t + 100\pi\,x)$.

b) Velocidad de vibración. Es la derivada de la elongación respecto del tiempo, con $x$ fijo:$$v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = A\,\omega\cos\!\left(25\pi\,t + 100\pi\,x + \frac{\pi}{2}\right) = 0{,}04\cdot 25\pi\cos(\dots) = \pi\cos(\dots)\ \text{m/s}$$Valor máximo. Se alcanza cuando el coseno vale $\pm 1$ (al pasar el punto por la posición de equilibrio):$$v_{y,\text{máx}} = A\,\omega = \pi\ \text{m/s} \approx 3{,}14\ \text{m/s}$$Es mucho mayor que la velocidad de propagación (0,25 m/s): son dos velocidades distintas, la del punto que oscila y la de la perturbación que avanza.

c) Desfase entre dos puntos. En el mismo instante, dos puntos separados $\Delta x$ tienen fases que difieren en$$\Delta\varphi = k\,\Delta x = 100\pi\cdot 0{,}005 = \frac{\pi}{2}\ \text{rad}$$Lo mismo se ve sin cálculo: 0,5 cm es la cuarta parte de la longitud de onda, y una longitud de onda corresponde a un desfase de $2\pi$. Los dos puntos están en cuadratura: cuando uno está en un extremo, el otro pasa por el equilibrio.