Problema resuelto de Física: Satélites, órbitas y leyes de KeplerSelectividad (PAU) · País Vasco 2017 · Julio · Opción A

Contexto. Johannes Kepler enunció a principios del siglo XVII tres leyes empíricas sobre el movimiento de los planetas, a partir de las observaciones astronómicas de Tycho Brahe. Décadas después, Newton demostró que se deducen de su ley de gravitación universal.

Primera ley (ley de las órbitas). Los planetas describen órbitas elípticas alrededor del Sol, que ocupa uno de los focos de la elipse. Por eso la distancia planeta-Sol varía: el punto más cercano es el perihelio y el más lejano, el afelio.

Segunda ley (ley de las áreas). El radio vector que une el Sol con el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales: la velocidad areolar $dA/dt$ es constante. Consecuencia: el planeta va más deprisa en el perihelio que en el afelio. Esta ley equivale a la conservación del momento angular del planeta respecto del Sol, porque la fuerza gravitatoria es central: $\dfrac{dA}{dt} = \dfrac{L}{2m} = \text{cte}$.

Tercera ley (ley de los periodos). El cuadrado del periodo de revolución de un planeta es proporcional al cubo del semieje mayor de su órbita:$$T^2 = k\,a^3$$con la misma constante $k$ para todos los planetas que giran alrededor del Sol (depende solo de la masa del cuerpo central).

Deducción de la tercera ley para una órbita circular. Sea un planeta de masa $m$ que gira con velocidad $v$ en una órbita circular de radio $r$ alrededor del Sol, de masa $M$. La única fuerza que actúa es la atracción gravitatoria, que apunta al centro y hace de fuerza centrípeta:$$\frac{G\,M\,m}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad v^2 = \frac{G\,M}{r}$$En un movimiento circular uniforme la velocidad es la longitud de la órbita dividida entre el periodo:$$v = \frac{2\pi r}{T}\quad\Longrightarrow\quad \frac{4\pi^2 r^2}{T^2} = \frac{G\,M}{r}$$Reordenando:$$T^2 = \frac{4\pi^2}{G\,M}\,r^3$$que es la tercera ley, con $k = \dfrac{4\pi^2}{GM}$. La constante no depende de la masa del planeta, solo de la del Sol: por eso es la misma para todos los planetas. Aplicada a satélites de la Tierra, $M$ es la masa de la Tierra.

Ejemplo. Con los datos de la Tierra ($r = 1{,}5\cdot 10^{11}\ \text{m}$, $T = 1$ año) y Marte ($r = 2{,}28\cdot 10^{11}\ \text{m}$), la tercera ley da para Marte $T = 1\cdot (2{,}28/1{,}5)^{3/2} \approx 1{,}9$ años, como se observa.