FísicaMedioProblema · 2 pts

Luz: reflexión, refracción y ondas electromagnéticas

Comunidad de Madrid · 2017 · Junio · Opción B

Enunciado

Sobre un bloque de material cuyo índice de refracción depende de la longitud de onda, incide desde el aire un haz de luz compuesto por longitudes de onda de

400\,\text{nm}

(violeta) y

750\,\text{nm}

(rojo). Los índices de refracción del material para estas longitudes de onda son

1{,}66

1{,}60

, respectivamente. Si, como se muestra en la figura, el ángulo de incidencia es de

60^\circ

Bloque de material con aire debajo. Un rayo llega desde el aire, por la izquierda y bajando, a la cara lateral izquierda (vertical) del bloque, cerca de su base; forma un ángulo α = 60° con la normal a esa cara, que se dibuja como una línea horizontal discontinua. La cara inferior del bloque es horizontal y separa el material del aire

a) ¿Cuáles son los ángulos de refracción y las longitudes de onda en el material?

b) Determine el ángulo límite para cada longitud de onda en la frontera entre el material y el aire. Para

\alpha = 60^\circ

, ¿escapan los rayos desde el medio hacia el aire por la frontera inferior?

Datos: Índice de refracción del aire,

n_{\text{aire}} = 1

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Resultado

\boxed{\;\text{a)}\ \ \theta_{\text{v}} = 31{,}4^\circ,\ \lambda_{\text{v}} = 241\ \text{nm}\qquad \theta_{\text{r}} = 32{,}8^\circ,\ \lambda_{\text{r}} = 469\ \text{nm}\;}

\boxed{\;\text{b)}\ \ \theta_{L,\text{v}} = 37{,}0^\circ\qquad \theta_{L,\text{r}} = 38{,}7^\circ\;}

\boxed{\;\text{Inciden abajo con } 58{,}6^\circ \text{ y } 57{,}2^\circ:\ \text{reflexión total, ningún rayo escapa por la cara inferior}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Al entrar en el material, cada color se refracta con un ángulo distinto porque el índice depende de la longitud de onda: es la dispersión. Con la ley de Snell en la cara vertical sacamos los dos ángulos de refracción. La frecuencia no cambia al pasar de un medio a otro, pero la velocidad sí, así que la longitud de onda en el material es la del vacío dividida por el índice.

En b) los rayos refractados siguen bajando hasta la cara inferior, que es horizontal: perpendicular a la cara por la que entraron. Por eso el ángulo con el que llegan a ella es el complementario del de refracción. Si ese ángulo supera el ángulo límite, hay reflexión total y la luz no sale por abajo.

Desarrollo

a) La normal a la cara de entrada es la línea horizontal discontinua de la figura, así que el ángulo de incidencia es

\alpha = 60^\circ

. Ley de Snell,

n_{\text{aire}}\sin\alpha = n\sin\theta_r

\sin\theta_{\text{v}} = \frac{\sin 60^\circ}{1{,}66} = 0{,}522 \quad\Longrightarrow\quad \theta_{\text{v}} = 31{,}4^\circ

\sin\theta_{\text{r}} = \frac{\sin 60^\circ}{1{,}60} = 0{,}541 \quad\Longrightarrow\quad \theta_{\text{r}} = 32{,}8^\circ

El violeta, con más índice, se desvía más hacia la normal.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Al cambiar de medio la frecuencia se mantiene y la velocidad pasa a ser

c/n

, así que

\lambda = \lambda_0/n

\lambda_{\text{v}} = \frac{400}{1{,}66} = 241\ \text{nm}\qquad \lambda_{\text{r}} = \frac{750}{1{,}60} = 469\ \text{nm}

b) Ángulo límite en la frontera material-aire: es el ángulo de incidencia para el que el refractado sale rasante (

90^\circ

n\sin\theta_L = 1\cdot\sin 90^\circ \quad\Longrightarrow\quad \sin\theta_L = \frac{1}{n}

\theta_{L,\text{v}} = \arcsin\frac{1}{1{,}66} = 37{,}0^\circ\qquad \theta_{L,\text{r}} = \arcsin\frac{1}{1{,}60} = 38{,}7^\circ

Los rayos refractados bajan hacia la cara inferior. Su normal es vertical, perpendicular a la normal de la cara de entrada, así que el ángulo de incidencia en ella es el complementario del de refracción:

i_{\text{v}} = 90^\circ - 31{,}4^\circ = 58{,}6^\circ\qquad i_{\text{r}} = 90^\circ - 32{,}8^\circ = 57{,}2^\circ

Los dos superan su ángulo límite (

58{,}6^\circ > 37{,}0^\circ

57{,}2^\circ > 38{,}7^\circ

): ambos sufren reflexión total en la cara inferior y no escapan al aire por ella.

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Consejo

Mide los ángulos siempre respecto de la normal a la superficie en la que estás. Aquí hay dos caras perpendiculares entre sí, y el ángulo de refracción en una se convierte en su complementario en la otra: dibuja las dos normales antes de calcular.

Recuerda qué cambia y qué no al cambiar de medio: la frecuencia (el color) se conserva; la velocidad y la longitud de onda se dividen entre $n$ .

Paso 1 de 3

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