FísicaMedioProblema · 2 pts

Movimiento de cargas: fuerza de Lorentz

Comunidad de Madrid · 2017 · Junio · Opción B
Enunciado
Un protón se desplaza con una velocidad v⃗=5 i⃗ m s−1\vec v = 5\,\vec i\ \text{m}\,\text{s}^{-1} en el seno de un campo eléctrico definido por la expresión E⃗=−100 j⃗ V m−1\vec E = -100\,\vec j\ \text{V}\,\text{m}^{-1}. Determine:

a) El campo magnético necesario, contenido en el plano YZYZ, para mantener al protón siguiendo un movimiento rectilíneo y uniforme.

b) El radio de giro que tendría dicho protón en una región donde solamente existiera el campo magnético del apartado anterior.

Datos: Valor absoluto de la carga del electrón, e=1,6⋅10−19 Ce = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}; Masa del protón, mp=1,67⋅10−27 kgm_p = 1{,}67\cdot 10^{-27}\ \text{kg}.
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Resultado
  a)  B⃗=−20 k⃗  T  \boxed{\;\text{a)}\ \ \vec B = -20\,\vec k\ \ \text{T}\;}  b)  r=2,61⋅10−9 m  \boxed{\;\text{b)}\ \ r = 2{,}61\cdot 10^{-9}\ \text{m}\;}
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Estrategia

Para que el protón vaya en línea recta y con velocidad constante, la fuerza total sobre él tiene que ser nula (primera ley de Newton): la fuerza magnética debe compensar exactamente a la eléctrica. Es un selector de velocidades.

La fuerza eléctrica empuja al protón hacia −j⃗-\vec j, así que la magnética tiene que ir hacia +j⃗+\vec j. Escribimos B⃗\vec B con dos componentes desconocidas en el plano YZYZ, hacemos el producto vectorial y exigimos que la suma de fuerzas sea cero.

Si quitamos el campo eléctrico, la fuerza magnética queda sola, perpendicular a la velocidad, y el protón describe una circunferencia.
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Desarrollo

a) Fuerza eléctrica sobre el protón (q=+eq = +e):F⃗E=q E⃗=1,6⋅10−19⋅(−100 j⃗)=−1,6⋅10−17 j⃗  N\vec F_E = q\,\vec E = 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot(-100\,\vec j) = -1{,}6\cdot 10^{-17}\,\vec j\ \ \text{N}Escribimos el campo magnético en el plano YZYZ como B⃗=By j⃗+Bz k⃗\vec B = B_y\,\vec j + B_z\,\vec k. La fuerza magnética:F⃗B=q v⃗×B⃗=q⋅5 i⃗×(By j⃗+Bz k⃗)=q (5By k⃗−5Bz j⃗)\vec F_B = q\,\vec v\times\vec B = q\cdot 5\,\vec i\times(B_y\,\vec j + B_z\,\vec k) = q\,(5B_y\,\vec k - 5B_z\,\vec j)Condición de movimiento rectilíneo y uniforme, F⃗E+F⃗B=0⃗\vec F_E + \vec F_B = \vec 0:q [(−100−5Bz) j⃗+5By k⃗]=0⃗⟹By=0,Bz=−1005=−20 Tq\,\big[(-100 - 5B_z)\,\vec j + 5B_y\,\vec k\big] = \vec 0 \quad\Longrightarrow\quad B_y = 0,\qquad B_z = -\frac{100}{5} = -20\ \text{T}B⃗=−20 k⃗  T\vec B = -20\,\vec k\ \ \text{T}Comprobación: v⃗×B⃗=5 i⃗×(−20 k⃗)=100 j⃗\vec v\times\vec B = 5\,\vec i\times(-20\,\vec k) = 100\,\vec j, así que F⃗B=+100 q j⃗\vec F_B = +100\,q\,\vec j, que anula a F⃗E\vec F_E. El módulo cumple la condición del selector, v=E/B=100/20=5 m s−1v = E/B = 100/20 = 5\ \text{m}\,\text{s}^{-1}. (Es un campo enorme porque la velocidad es diminuta.)
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
b) Con solo el campo magnético, la fuerza de Lorentz es perpendicular a la velocidad y actúa como fuerza centrípeta:q v B=mp v2r⟹r=mp vq Bq\,v\,B = m_p\,\frac{v^2}{r} \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{m_p\,v}{q\,B}r=1,67⋅10−27⋅51,6⋅10−19⋅20=2,61⋅10−9 mr = \frac{1{,}67\cdot 10^{-27}\cdot 5}{1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 20} = 2{,}61\cdot 10^{-9}\ \text{m}El protón gira en el plano XYXY (perpendicular a B⃗\vec B) en una circunferencia de apenas unos nanómetros de radio.
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Consejo

No basta con el módulo B=E/vB = E/v: el enunciado pide el vector. Escribe B⃗\vec B con sus componentes desconocidas, haz el producto vectorial y exige que la fuerza total sea nula. Así sale el sentido sin tener que adivinarlo.

Repasa los productos de la base: i⃗×j⃗=k⃗\vec i\times\vec j = \vec k, j⃗×k⃗=i⃗\vec j\times\vec k = \vec i, k⃗×i⃗=j⃗\vec k\times\vec i = \vec j, y al cambiar el orden cambia el signo (i⃗×k⃗=−j⃗\vec i\times\vec k = -\vec j).
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