FísicaMedioProblema · 2 pts

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Comunidad de Madrid · 2017 · Junio · Opción B

Enunciado

Una onda armónica transversal se propaga en el sentido negativo del eje

X

con una velocidad de

10\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

y con una frecuencia angular de

\pi/3\ \text{rad}\,\text{s}^{-1}

. Si en el instante inicial la elongación en el origen de coordenadas es

6/\pi\ \text{cm}

y la velocidad de oscilación es

1\ \text{cm}\,\text{s}^{-1}

, determine:

a) La expresión matemática que representa la onda.

b) La velocidad de oscilación en el instante inicial en el punto situado en

x = \lambda/4

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\ \ y(x,t) = 2{,}14\cdot 10^{-2}\,\sin\!\left(\frac{\pi}{3}\,t + \frac{\pi}{30}\,x + 1{,}11\right)\ \text{m}\;}

\boxed{\;\text{b)}\ \ v_y = -2\cdot 10^{-2}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La ecuación de la onda necesita amplitud, frecuencia angular, número de onda y fase inicial. La frecuencia angular es dato; el número de onda sale de la velocidad de propagación,

k = \omega/v

; y como la onda va hacia

-X

, la fase lleva

\omega t + kx

.

Lo interesante es que no nos dan la amplitud: nos dan la elongación y la velocidad del punto

x = 0

t = 0

. Son dos ecuaciones con dos incógnitas (

A

\varphi_0

), igual que al sacar la fase inicial de un MAS.

En b), un cuarto de longitud de onda equivale a un desfase de

\pi/2

, y eso convierte el coseno de la velocidad en un seno: el resultado sale casi sin cuentas.

Desarrollo

a) Tomamos la forma

y(x,t) = A\,\sin(\omega t + k x + \varphi_0)

con el signo

+

porque la onda avanza en el sentido negativo del eje

X

. Número de onda y longitud de onda:

k = \frac{\omega}{v} = \frac{\pi/3}{10} = \frac{\pi}{30}\ \text{rad}\,\text{m}^{-1}\qquad \lambda = \frac{2\pi}{k} = 60\ \text{m}

(y el periodo,

T = 2\pi/\omega = 6\ \text{s}

). La velocidad de oscilación de un punto es la derivada respecto al tiempo:

v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = A\,\omega\cos(\omega t + k x + \varphi_0)

Condiciones iniciales en

x = 0

t = 0

(trabajamos en cm y s):

y(0,0) = A\sin\varphi_0 = \frac{6}{\pi}\qquad v_y(0,0) = A\,\frac{\pi}{3}\cos\varphi_0 = 1 \;\Rightarrow\; A\cos\varphi_0 = \frac{3}{\pi}

Dividiendo una entre otra y sumando sus cuadrados:

\tan\varphi_0 = \frac{6/\pi}{3/\pi} = 2\qquad A = \sqrt{\left(\frac{6}{\pi}\right)^2 + \left(\frac{3}{\pi}\right)^2} = \frac{3\sqrt5}{\pi} = 2{,}14\ \text{cm}

Como el seno y el coseno de

\varphi_0

son los dos positivos, el ángulo está en el primer cuadrante:

\varphi_0 = \arctan 2 = 1{,}11\ \text{rad}\ (63{,}4^\circ)

La ecuación de la onda, en el SI:

y(x,t) = 2{,}14\cdot 10^{-2}\,\sin\!\left(\frac{\pi}{3}\,t + \frac{\pi}{30}\,x + 1{,}11\right)\ \text{m}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) En

x = \lambda/4 = 15\,\text{m}

, el término

kx

vale

\frac{\pi}{30}\cdot 15 = \frac{\pi}{2}

. En

t = 0

v_y\!\left(\tfrac{\lambda}{4},0\right) = A\,\omega\cos\!\left(\frac{\pi}{2} + \varphi_0\right) = -A\,\omega\sin\varphi_0

A\sin\varphi_0

es precisamente la elongación inicial en el origen,

6/\pi\ \text{cm}

v_y = -\frac{\pi}{3}\cdot\frac{6}{\pi} = -2\ \text{cm}\,\text{s}^{-1} = -2\cdot 10^{-2}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

Ese punto se mueve hacia abajo (sentido negativo del eje

Y

) con

2\ \text{cm}\,\text{s}^{-1}

Consejo

Con la elongación y la velocidad iniciales tienes $A\sin\varphi_0$ y $A\cos\varphi_0$ : no supongas que la amplitud es la elongación dada. El cuadrante de $\varphi_0$ lo deciden los signos de las dos condiciones, no la calculadora (el arcotangente solo da ángulos entre $-90^\circ$ y $90^\circ$ ).

Si escribes la onda con coseno, la fase inicial sale distinta, pero la onda es la misma y la velocidad de b) también. Lo que no puedes cambiar es el signo de $kx$ : hacia $-X$ , $+kx$ .