FísicaFácilProblema · 2 pts

Radiactividad y desintegración

Comunidad de Madrid · 2017 · Junio · Opción A
Enunciado
Se dispone de una muestra del isótopo 226Ra{}^{226}\text{Ra} cuyo periodo de semidesintegración es 1588,691588{,}69 años.

a) Determine la constante de desintegración del isótopo.

b) Transcurridos 200200 años, el número de núcleos que no se han desintegrado es 9,76⋅10169{,}76\cdot 10^{16}. ¿Cuál era la masa inicial de la muestra de 226Ra{}^{226}\text{Ra}?

Datos: Masa atómica del 226Ra{}^{226}\text{Ra}, M=226 uM = 226\ \text{u}; Número de Avogadro, NA=6,02⋅1023 mol−1N_A = 6{,}02\cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}.
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Resultado
  a)  λ=4,36⋅10−4 an˜os−1=1,38⋅10−11 s−1  \boxed{\;\text{a)}\ \ \lambda = 4{,}36\cdot 10^{-4}\ \text{años}^{-1} = 1{,}38\cdot 10^{-11}\ \text{s}^{-1}\;}  b)  N0=1,065⋅1017 nuˊcleosm0=4,00⋅10−5 g  \boxed{\;\text{b)}\ \ N_0 = 1{,}065\cdot 10^{17}\ \text{núcleos}\qquad m_0 = 4{,}00\cdot 10^{-5}\ \text{g}\;}
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Estrategia

La constante de desintegración y el periodo de semidesintegración dicen lo mismo de dos formas: λ=ln⁡2/T1/2\lambda = \ln 2 / T_{1/2}. La damos en años−1^{-1} (la unidad natural aquí) y en el SI.

En b) conocemos los núcleos que quedan tras 200 años; con la ley de desintegración recorremos el camino hacia atrás para saber cuántos había al principio. Después, el número de núcleos se pasa a moles con el número de Avogadro y los moles a gramos con la masa molar, 226 g mol−1226\ \text{g}\,\text{mol}^{-1}.
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Desarrollo

a) Constante de desintegración:λ=ln⁡2T1/2=0,6931588,69 an˜os=4,36⋅10−4 an˜os−1\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{1588{,}69\ \text{años}} = 4{,}36\cdot 10^{-4}\ \text{años}^{-1}En el SI, con T1/2=1588,69⋅365⋅24⋅3600=5,01⋅1010 sT_{1/2} = 1588{,}69\cdot 365\cdot 24\cdot 3600 = 5{,}01\cdot 10^{10}\ \text{s}:λ=ln⁡25,01⋅1010 s=1,38⋅10−11 s−1\lambda = \frac{\ln 2}{5{,}01\cdot 10^{10}\ \text{s}} = 1{,}38\cdot 10^{-11}\ \text{s}^{-1}b) Ley de desintegración, N=N0 e−λtN = N_0\,e^{-\lambda t}, despejando N0N_0:N0=N eλtN_0 = N\,e^{\lambda t}El exponente es adimensional; con λ\lambda en años−1^{-1} y tt en años:λt=4,363⋅10−4⋅200=0,0873\lambda t = 4{,}363\cdot 10^{-4}\cdot 200 = 0{,}0873N0=9,76⋅1016⋅e0,0873=9,76⋅1016⋅1,091=1,065⋅1017 nuˊcleosN_0 = 9{,}76\cdot 10^{16}\cdot e^{0{,}0873} = 9{,}76\cdot 10^{16}\cdot 1{,}091 = 1{,}065\cdot 10^{17}\ \text{núcleos}Como 200 años es mucho menos que el periodo, se ha desintegrado poco: algo menos del 9 % de los núcleos.

Ahora pasamos a masa. Un mol de 226Ra{}^{226}\text{Ra} tiene NAN_A núcleos y una masa de 226 g226\,\text{g}:m0=N0NA M=1,065⋅10176,02⋅1023⋅226=4,00⋅10−5 gm_0 = \frac{N_0}{N_A}\,M = \frac{1{,}065\cdot 10^{17}}{6{,}02\cdot 10^{23}}\cdot 226 = 4{,}00\cdot 10^{-5}\ \text{g}Es decir, 4,00⋅10−8 kg4{,}00\cdot 10^{-8}\ \text{kg} (unos 40 μg40\ \mu\text{g}).
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
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Consejo

En e−λte^{-\lambda t}, λ\lambda y tt tienen que ir en unidades coherentes (años−1^{-1} con años, s−1^{-1} con segundos). Mezclarlas da exponentes absurdos; si el periodo y el tiempo vienen en años, lo más cómodo es no pasar a segundos.

No redondees λ\lambda demasiado antes de calcular la exponencial: aquí el resultado sale exacto, 4⋅10−5 g4\cdot 10^{-5}\ \text{g}, si arrastras tres o cuatro cifras.
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