FísicaMedioProblema · 2 pts

Efecto fotoeléctrico y cuantización

También trata: Dualidad onda-corpúsculo e incertidumbre

Comunidad de Madrid · 2017 · Septiembre · Opción B

Enunciado

Para observar el efecto fotoeléctrico sobre un metal que posee una función de trabajo de

2{,}1\ \text{eV}

se utiliza una lámpara de Cd que emite en cuatro líneas espectrales de distinta longitud de onda: línea roja a

643{,}8\ \text{nm}

; línea verde a

538{,}2\ \text{nm}

; línea azul a

480{,}0\ \text{nm}

y línea violeta a

372{,}9\ \text{nm}

.

a) ¿Qué líneas espectrales provocarán efecto fotoeléctrico en ese material? Justifique la respuesta. Calcule la energía cinética máxima de los fotoelectrones si se utiliza la línea espectral azul.

b) Determine la longitud de onda de De Broglie asociada a los fotoelectrones con energía cinética máxima utilizando la línea azul. ¿Podrían ser considerados esos electrones como relativistas? Justifique la respuesta.

Datos: Velocidad de la luz en el vacío,

c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

; Constante de Planck,

h = 6{,}63\cdot 10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}

; Valor absoluto de la carga del electrón,

e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}

; Masa en reposo del electrón,

m_e = 9{,}1\cdot 10^{-31}\ \text{kg}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\lambda_0 = 592\ \text{nm}:\ \text{producen efecto la verde, la azul y la violeta (no la roja)}\;}

\boxed{\;E_{c,\text{máx}}(\text{azul}) = 7{,}84\cdot 10^{-20}\ \text{J} = 0{,}49\ \text{eV}\;}

\boxed{\;\lambda_{dB} = 1{,}76\cdot 10^{-9}\ \text{m}\qquad v = 4{,}15\cdot 10^{5}\ \text{m/s} \ll c:\ \text{no relativistas}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cada fotón entrega toda su energía,

E = hc/\lambda

, a un electrón del metal. Solo hay efecto fotoeléctrico si esa energía supera la función de trabajo,

2{,}1\ \text{eV}

; da igual lo intensa que sea la luz. Así que hay que calcular la energía del fotón de cada línea (o, más rápido, la longitud de onda umbral) y comparar. Lo que sobra tras arrancar el electrón es su energía cinética máxima.

En el b), con la energía cinética sale el momento lineal del electrón,

p = \sqrt{2 m_e E_c}

, y de ahí su longitud de onda de De Broglie. Para saber si es relativista, comparamos su velocidad con la de la luz.

Desarrollo

a) La longitud de onda umbral es la del fotón que tiene justo la energía de la función de trabajo,

W_0 = 2{,}1\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19} = 3{,}36\cdot 10^{-19}\ \text{J}

\lambda_0 = \frac{h\,c}{W_0} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}\cdot 3\cdot 10^{8}}{3{,}36\cdot 10^{-19}} = 5{,}92\cdot 10^{-7}\ \text{m} = 592\ \text{nm}

Solo las líneas con

\lambda < 592\ \text{nm}

tienen fotones con energía suficiente. Calculando

E = hc/\lambda

de cada una:

Línea	$\lambda$ (nm)	$E$ (eV)	¿Efecto fotoeléctrico?
Roja	643,8	1,93	No
Verde	538,2	2,31	Sí
Azul	480,0	2,59	Sí
Violeta	372,9	3,33	Sí

Producen efecto fotoeléctrico la verde, la azul y la violeta. La roja no, por mucha intensidad que tenga: cada uno de sus fotones lleva menos energía de la necesaria para arrancar un electrón.

Con la línea azul, ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico:

E_{c,\text{máx}} = \frac{h\,c}{\lambda} - W_0 = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}\cdot 3\cdot 10^{8}}{480{,}0\cdot 10^{-9}} - 3{,}36\cdot 10^{-19} = 4{,}14\cdot 10^{-19} - 3{,}36\cdot 10^{-19} = 7{,}84\cdot 10^{-20}\ \text{J}

es decir,

0{,}49\ \text{eV}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Momento lineal del electrón (no relativista,

E_c = p^2/2m_e

p = \sqrt{2\,m_e\,E_c} = \sqrt{2\cdot 9{,}1\cdot 10^{-31}\cdot 7{,}84\cdot 10^{-20}} = 3{,}78\cdot 10^{-25}\ \text{kg}\,\text{m/s}

Longitud de onda de De Broglie:

\lambda_{dB} = \frac{h}{p} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{3{,}78\cdot 10^{-25}} = 1{,}76\cdot 10^{-9}\ \text{m} = 1{,}76\ \text{nm}

Para ver si es relativista, su velocidad:

v = \sqrt{\frac{2\,E_c}{m_e}} = \sqrt{\frac{2\cdot 7{,}84\cdot 10^{-20}}{9{,}1\cdot 10^{-31}}} = 4{,}15\cdot 10^{5}\ \text{m/s}

\frac{v}{c} = \frac{4{,}15\cdot 10^{5}}{3\cdot 10^{8}} = 1{,}4\cdot 10^{-3}

Va a un

0{,}14\ \%

de la velocidad de la luz, así que no son relativistas: los efectos relativistas solo se notan a partir de una fracción apreciable de

c

(más o menos un

10\ \%

). Dicho con energías:

0{,}49\ \text{eV}

es despreciable frente a la energía en reposo del electrón,

m_e c^2 \approx 0{,}51\ \text{MeV}

. Por eso estaba bien usar

p = \sqrt{2 m_e E_c}

Consejo

Para decidir qué luces arrancan electrones, calcula una sola vez la longitud de onda umbral y compara: las que tienen $\lambda$ menor que el umbral funcionan (más energía por fotón). Es más rápido que calcular la energía de cada línea, y evita confundirse con el sentido.

Pasa la función de trabajo a julios antes de restarla a $hc/\lambda$ , o pasa todo a eV: lo que no puedes hacer es mezclar las dos unidades en la misma resta.