FísicaMedioProblema · 2 pts

Luz: reflexión, refracción y ondas electromagnéticas

Comunidad de Madrid · 2017 · Septiembre · Opción B
Enunciado
Una fibra óptica de vidrio posee un núcleo con un índice de refracción de 1,551{,}55, rodeado por un recubrimiento de índice de refracción de 1,451{,}45. Determine:
Corte longitudinal de una fibra óptica: un núcleo horizontal entre dos capas de recubrimiento. Un rayo llega desde el aire a la cara de entrada formando un ángulo α con la normal a esa cara (horizontal), se refracta hacia el núcleo e incide en la superficie de separación núcleo-recubrimiento formando un ángulo β con su normal (vertical), donde se refleja
Corte longitudinal de una fibra óptica: un núcleo horizontal entre dos capas de recubrimiento. Un rayo llega desde el aire a la cara de entrada formando un ángulo α con la normal a esa cara (horizontal), se refracta hacia el núcleo e incide en la superficie de separación núcleo-recubrimiento formando un ángulo β con su normal (vertical), donde se refleja
a) El ángulo mínimo β\beta que debe tener un rayo que viaja por la fibra óptica a partir del cual se produce reflexión total interna entre el núcleo y el recubrimiento.

b) El ángulo máximo de entrada α\alpha a la fibra para que un rayo viaje confinado en la región del núcleo.

Datos: Índice de refracción del aire, naire=1n_{aire} = 1.
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Resultado
  βmıˊn=69,3∘αmaˊx=33,2∘  \boxed{\;\beta_{\text{mín}} = 69{,}3^\circ\qquad \alpha_{\text{máx}} = 33{,}2^\circ\;}
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Estrategia

La luz queda atrapada en el núcleo porque pasa de un medio de índice mayor (1,551{,}55) a otro de índice menor (1,451{,}45): si el ángulo de incidencia supera el ángulo límite, no hay rayo refractado y toda la luz se refleja. Eso da el β\beta mínimo.

Para el b) hay que relacionar los dos ángulos. La cara de entrada es perpendicular al eje de la fibra, así que su normal es horizontal, mientras que la normal a la superficie núcleo-recubrimiento es vertical: el ángulo de refracción en la entrada y β\beta suman 90∘90^\circ. Cuanto más inclinado entra el rayo (mayor α\alpha), menor es β\beta; el α\alpha máximo es el que deja β\beta justo en el ángulo límite.
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Desarrollo

a) Ley de Snell en la superficie núcleo-recubrimiento, con el ángulo de refracción de 90∘90^\circ (el rayo refractado iría rasante):nnuˊcleo sen βlıˊm=nrec sen 90∘⇒sen βlıˊm=1,451,55=0,935n_{\text{núcleo}}\,\text{sen}\,\beta_{\text{lím}} = n_{\text{rec}}\,\text{sen}\,90^\circ\quad\Rightarrow\quad \text{sen}\,\beta_{\text{lím}} = \frac{1{,}45}{1{,}55} = 0{,}935βlıˊm=69,3∘\beta_{\text{lím}} = 69{,}3^\circPara cualquier ángulo β≥69,3∘\beta \ge 69{,}3^\circ hay reflexión total.
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b) En la entrada, el rayo pasa del aire al núcleo y forma con la normal (horizontal) un ángulo de refracción θ\theta. Como esa normal es perpendicular a la del contacto núcleo-recubrimiento, en el triángulo rectángulo que forma el rayo:θ=90∘−β\theta = 90^\circ - \betaPara que el rayo quede confinado, β≥69,3∘\beta \ge 69{,}3^\circ, es decir, θ≤90∘−69,3∘=20,7∘\theta \le 90^\circ - 69{,}3^\circ = 20{,}7^\circ. Ley de Snell en la cara de entrada con el valor límite:naire sen αmaˊx=nnuˊcleo sen θ=1,55⋅sen 20,7∘=0,548n_{aire}\,\text{sen}\,\alpha_{\text{máx}} = n_{\text{núcleo}}\,\text{sen}\,\theta = 1{,}55\cdot\text{sen}\,20{,}7^\circ = 0{,}548αmaˊx=33,2∘\alpha_{\text{máx}} = 33{,}2^\circ(Como sen θ=cos⁡βlıˊm\text{sen}\,\theta = \cos\beta_{\text{lím}}, también se puede escribir sen αmaˊx=nnuˊcleo2−nrec2=1,552−1,452=0,30\text{sen}\,\alpha_{\text{máx}} = \sqrt{n_{\text{núcleo}}^2 - n_{\text{rec}}^2} = \sqrt{1{,}55^2 - 1{,}45^2} = \sqrt{0{,}30}, que es la apertura numérica de la fibra.)

Si el rayo entra con un ángulo mayor que 33,2∘33{,}2^\circ, llega a la pared del núcleo con β<69,3∘\beta < 69{,}3^\circ, se refracta en parte hacia el recubrimiento y la luz se va perdiendo.
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Consejo

Dibuja las dos normales: la de la cara de entrada (horizontal) y la de la pared del núcleo (vertical). Al ser perpendiculares, el ángulo refractado en la entrada y β\beta son complementarios. Usar β\beta directamente en la entrada es el error típico.

Ojo con el sentido de las desigualdades: un β\beta mínimo para la reflexión total da un α\alpha máximo de entrada. Cuanto más «de frente» entra el rayo, mejor queda atrapado.
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