Radiactividad y desintegración

a) Pasamos cada masa a moles (la masa atómica en u coincide con la masa molar en g/mol) y luego a átomos:$$N_U = \frac{2{,}74\cdot 10^{-3}\ \text{g}}{238{,}05\ \text{g/mol}}\cdot 6{,}02\cdot 10^{23} = 6{,}93\cdot 10^{18}\ \text{átomos}$$$$N_{Pb} = \frac{1{,}12\cdot 10^{-3}\ \text{g}}{205{,}97\ \text{g/mol}}\cdot 6{,}02\cdot 10^{23} = 3{,}27\cdot 10^{18}\ \text{átomos}$$Cada átomo de plomo procede de uno de uranio, así que los átomos iniciales de uranio son:$$N_0 = N_U + N_{Pb} = 6{,}93\cdot 10^{18} + 3{,}27\cdot 10^{18} = 1{,}02\cdot 10^{19}\ \text{átomos}$$b) Constante de desintegración, en años$^{-1}$:$$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{4{,}47\cdot 10^{9}} = 1{,}55\cdot 10^{-10}\ \text{años}^{-1}$$Ley de desintegración, $N = N_0\,e^{-\lambda t}$; despejamos $t$ tomando logaritmos:$$t = \frac{1}{\lambda}\,\ln\frac{N_0}{N_U} = \frac{1}{1{,}55\cdot 10^{-10}}\,\ln\frac{1{,}02\cdot 10^{19}}{6{,}93\cdot 10^{18}} = \frac{\ln 1{,}472}{1{,}55\cdot 10^{-10}} = 2{,}50\cdot 10^{9}\ \text{años}$$Algo más de media semivida, coherente con que quede un $68\ \%$ del uranio inicial.

Para la actividad pasamos $\lambda$ a $\text{s}^{-1}$ ($1\ \text{año} = 365\cdot 24\cdot 3600 = 3{,}15\cdot 10^{7}\ \text{s}$):$$\lambda = \frac{1{,}55\cdot 10^{-10}}{3{,}15\cdot 10^{7}} = 4{,}92\cdot 10^{-18}\ \text{s}^{-1}$$$$A = \lambda\,N_U = 4{,}92\cdot 10^{-18}\cdot 6{,}93\cdot 10^{18} = 34{,}1\ \text{Bq}$$Es una actividad muy pequeña: el uranio-238 se desintegra tan despacio que, aun con casi siete trillones de átomos, solo unos 34 se desintegran cada segundo.

En la simulación, la muestra en el instante del problema (con unos pocos núcleos, no con $10^{19}$):